Questões Perdidas ⇒ Solucionário:Racso - Cap XXI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:33 Tópico resolvido

[petras]

Problema Proposto
33 - Na figura: P, Q e I são os incentros dos
triángulos AHB, BHC e ABC respectivamente.
Calcular a área da região sombreada se MN = a

Resposta

---

[tex3]\frac{a^2}{2}[/tex3]

[petras]

BP é bissetriz do <ABH , que determina os ângulos [tex3]\alpha [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha [/tex3]

.
< MPB = [tex3]\alpha [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha [/tex3]

(Alternos internos).
[tex3]\Delta [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta [/tex3]

BMP é isósceles (BM=PM)
Analogamente [tex3]\Delta [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta [/tex3]

BNQ é isósceles(BN=NQ).

O segmento FM passa por P que é o incentro do [tex3]\Delta [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta [/tex3]

AHB e determina o ponto M que é o ponto de tangência da circunferência cujo incentro é I. Portanto, <IMB é reto.
Anolagamente < INB é reto.
Com isso, temos que BMIN é um quadrado (lado l) e que MN é sua diagonal e que BI também é diagonal: .
Esses dois segmentos se cruzam formando um ângulo de 90°.

Pelas semelhanças citada acima, temos que MP=NQ=l e são paralelas, portanto o quadrilátero MPQN é um paralelogramo e PQ=a.

A área do quadrilátero BPIQ é:
[tex3]A_{BPIQ}=A_{\Delta BPQ}- A_{\Delta PQI}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A_{BPIQ}=A_{\Delta BPQ}- A_{\Delta PQI}[/tex3]

Chamemos IE = x
[tex3]\Delta [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta [/tex3]

BPQ tem base PQ e altura BE
[tex3]\Delta [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta [/tex3]

PQI tem base PQ e altura IE

[tex3]A_{BQIP}=\frac{a \cdot(a+x)}{2}-\frac{a \cdot x}{2}=\boxed{\color{red}\frac{a}{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A_{BQIP}=\frac{a \cdot(a+x)}{2}-\frac{a \cdot x}{2}=\boxed{\color{red}\frac{a}{2}}[/tex3]

(Solução: VALDECIRTOZZI - viewtopic.php?t=35506)

[FelipeMartin]

O segmento FM passa por P que é o incentro do [tex3]\Delta [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta [/tex3]

AHB e determina o ponto M que é o ponto de tangência da circunferência cujo incentro é I.

por quê?

[petras]

BP é bissetriz do <ABH , que determina os ângulos .
< MPB =< PBH = < PBM (Alternos internos).
BMP é isósceles (BM=PM)
Analogamente BNQ é isósceles(BN=NQ).

[tex3]\mathsf{

∠AMI=∠CNI=90∘ \implies BMIN(quadrado) :MN=a(diagonal), l =a\sqrt2\\
\therefore MP=MB=NB=NQ. \\
Trace~ PM'~e~ QN' \perp MN.\\
\therefore NN'=MM' ~e~ N'Q \parallel BI \parallel M'P ( BI ~é~ diagonal)\\
S_{BPIQ}=S_{BM'IN'}=S_{BMIN}=\frac{l^2}{2}=\boxed{\color{red}\frac{a^2}{2}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{

∠AMI=∠CNI=90∘ \implies BMIN(quadrado) :MN=a(diagonal), l =a\sqrt2\\
\therefore MP=MB=NB=NQ. \\
Trace~ PM'~e~ QN' \perp MN.\\
\therefore NN'=MM' ~e~ N'Q \parallel BI \parallel M'P ( BI ~é~ diagonal)\\
S_{BPIQ}=S_{BM'IN'}=S_{BMIN}=\frac{l^2}{2}=\boxed{\color{red}\frac{a^2}{2}}}[/tex3]

(Solução: Vasily)

[FelipeMartin]

parece que os ângulos na parte "< MPB =< PBI = < BPM " estão errados. Aliás, não dá pra citar a resposta mais?

[petras]

Seja, x inraio △ABH,
y inraio of △CBH
z inraio de △ABC.
Como △AHB,△BHC and △ABC são semelhantes: suas hipotenusas e inraios estarão em proporção,
AB:BC:AC=x:y:z e z²=x²+y²

Prolongando EM e FN até RS∥AC.

[tex3]\mathsf{△BRM∼△ABC \implies RM=y, SN=x. \therefore BM=BN=z\\
BM=BN=z=inraio~ △ABC, \\
IM ~e ~ IN ~serão~ \perp ~a~ AB ~e ~ BC ~respectivamente \implies BNM~e~quadrado, BI =a, BI⊥MN\\
BI ~é ~bissetriz \angle BPQ\\
[BPIQ]=S_{BPI}+S_{BIQ}=\frac{1}{2}BI.h_1(h_1\perp P \small{\rightarrow} BI)+ \frac{1}{2}BI.h_2(h_2 \perp~ Q \small{\rightarrow} BI)\\\therefore [BPQI] =\frac{1}{2}BI(\underbrace{h_1+h_2}_{MN})= \frac{1}{2}⋅MN⋅BI=\frac{a.a}{2}\implies\boxed{\color{red}\frac{a^2}{2}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{△BRM∼△ABC \implies RM=y, SN=x. \therefore BM=BN=z\\
BM=BN=z=inraio~ △ABC, \\
IM ~e ~ IN ~serão~ \perp ~a~ AB ~e ~ BC ~respectivamente \implies BNM~e~quadrado, BI =a, BI⊥MN\\
BI ~é ~bissetriz \angle BPQ\\
[BPIQ]=S_{BPI}+S_{BIQ}=\frac{1}{2}BI.h_1(h_1\perp P \small{\rightarrow} BI)+ \frac{1}{2}BI.h_2(h_2 \perp~ Q \small{\rightarrow} BI)\\\therefore [BPQI] =\frac{1}{2}BI(\underbrace{h_1+h_2}_{MN})= \frac{1}{2}⋅MN⋅BI=\frac{a.a}{2}\implies\boxed{\color{red}\frac{a^2}{2}}}[/tex3]

(Solução:MathLover)