30 - Exteriormente a um trapezóide ABCD se
constroem sobre seus lados quadrados de centros
P, Q, R e L. Se PR = a. Calcular a área da região PQRL.
Resposta
D) [tex3]\frac{a^2}{2}[/tex3]
Questões Perdidas ⇒ Solucionário:Racso - Cap XXI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:30 Tópico resolvido
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Jan 2022
11
10:40
Solucionário:Racso - Cap XXI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:30
]Problema Proposto
30 - Exteriormente a um trapezóide ABCD se
constroem sobre seus lados quadrados de centros
P, Q, R e L. Se PR = a. Calcular a área da região PQRL.
D) [tex3]\frac{a^2}{2}[/tex3]
30 - Exteriormente a um trapezóide ABCD se
constroem sobre seus lados quadrados de centros
P, Q, R e L. Se PR = a. Calcular a área da região PQRL.
D) [tex3]\frac{a^2}{2}[/tex3]
- Anexos
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FelipeMartin
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Jan 2022
11
16:01
Re: Solucionário:Racso - Cap XXI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:30
Esse é o teorema de Van Aubel.
Seja [tex3]M[/tex3] o ponto médio de [tex3]AC[/tex3] .
Neste problema, eu provei que [tex3]ML = MR[/tex3] e [tex3]\angle LMR = 90^{\circ}[/tex3] , que é o teorema de Finsler-Hadwiger.
Analogamente, [tex3]MP = MQ[/tex3] e [tex3]MP \perp MQ[/tex3] .
Logo, [tex3]\triangle QML \cong \triangle PMR[/tex3] por L-A-L em P: [tex3]\angle QML = \angle QMR + \angle LMR = \angle QMR + 90^{\circ} = \angle RMP[/tex3] . Donde, [tex3]PR = QL = a[/tex3] . A perpendicularidade entre [tex3]PR[/tex3] e [tex3]QL[/tex3] é consequência desta congruência também (basta desenhar e utilizar os ângulos congruentes dos triângulos) e, dai, é trivial que [tex3]S =\frac{a^2}2[/tex3] .
Seja [tex3]M[/tex3] o ponto médio de [tex3]AC[/tex3] .
Neste problema, eu provei que [tex3]ML = MR[/tex3] e [tex3]\angle LMR = 90^{\circ}[/tex3] , que é o teorema de Finsler-Hadwiger.
Analogamente, [tex3]MP = MQ[/tex3] e [tex3]MP \perp MQ[/tex3] .
Logo, [tex3]\triangle QML \cong \triangle PMR[/tex3] por L-A-L em P: [tex3]\angle QML = \angle QMR + \angle LMR = \angle QMR + 90^{\circ} = \angle RMP[/tex3] . Donde, [tex3]PR = QL = a[/tex3] . A perpendicularidade entre [tex3]PR[/tex3] e [tex3]QL[/tex3] é consequência desta congruência também (basta desenhar e utilizar os ângulos congruentes dos triângulos) e, dai, é trivial que [tex3]S =\frac{a^2}2[/tex3] .
Última edição: FelipeMartin (Ter 11 Jan, 2022 16:18). Total de 1 vez.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
Jan 2022
11
16:18
Re: Solucionário:Racso - Cap XXI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:30
Pelo teorema de Van Aubel (https://en.wikipedia.org/wiki/Van_Aubel%27s_theorem)
que descreve a relação entre quadrados construídos nos lados de um quadrilátero . Começando com um dado quadrilátero convexo, construa um quadrado , externo ao quadrilátero, em cada lado. O teorema de Van Aubel afirma que os dois segmentos de linha entre os centros de quadrados opostos têm comprimentos iguais e são perpendiculares entre si. Outra maneira de dizer a mesma coisa é que os pontos centrais dos quatro quadrados formam os vértices de um quadrilátero ortodiagonal equidiagonal .
que descreve a relação entre quadrados construídos nos lados de um quadrilátero . Começando com um dado quadrilátero convexo, construa um quadrado , externo ao quadrilátero, em cada lado. O teorema de Van Aubel afirma que os dois segmentos de linha entre os centros de quadrados opostos têm comprimentos iguais e são perpendiculares entre si. Outra maneira de dizer a mesma coisa é que os pontos centrais dos quatro quadrados formam os vértices de um quadrilátero ortodiagonal equidiagonal .
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