Questões Perdidas ⇒ Solucionário:Racso - Cap XXI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:29 Tópico resolvido

[petras]

Problema Proposto
29 - No triângulo ABC, se traçam as bissetrizes
interiores AD e CE as quais se interceptam em "I".
Se [tex3]\angle B = 60^o[/tex3] e a área da
região triangular AIC é A. Calcular a área da
região pentagonal não convexa AEIDCA.

Resposta

---

C) 2A

[jvmago]

Por propriedade

AE=(bc)/(a+b) e DC=(ab)/(b+c)

A área buscada será

x=A+S

Onde S=AEI+DCI

Que podemos escrever como

2S=r(AE+DC)
2S=r((bc)/(a+b)+(ab)/(b+c))

2S=br((c)/(a+b)+(a)/(b+c))

2S=br((c(b+c)+a(a+b))/((a+b)(b+c))

2A=b*r

S=A((c(b+c)+a(a+b))/((a+b)(b+c))

Pela lei dos cossenos

b²=a²+c²-ac

S=A((bc+c²+a²+ab)/((a+b)(b+c))
S=A((bc+b²+ac+ab)/((a+b)(b+c))
S=A(b(c+b+a)+ac))/((a+b)(b+c))

S=A(2pb+ac))/((a+b)(b+c))


Pelo teorema 6. viewtopic.php?f=28&t=90949

Acredito que já saia, chegando em casa amanhã eu tento terminar

[jvmago]

X=A((b²+ab+bc+ac+2pb+ac)/(a+b)(b+c))

X=A((b(b+a+c)+ac+2pb+ac)/(a+b)(b+c))

X=A((2ac+4pb)/(a+b)(b+c))

X=2A(2pb+ac)/(b(a+b+c)+ac)
X=2A

[tex3]PIMBADA[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]PIMBADA[/tex3]

A ARTE DE RESOLVER QUESTÕES SEM PAPEL AINDA TA EM DIA

[petras]

Seja X ∈ AC tal que ∠AIX=∠XIC=60∘.
∠EIA=180∘−120∘=60∘=∠XIA e por definição ∠IAE=α=∠IAX.
[tex3]\triangle AIE \cong AIX \implies S[AIX]=S[AIE].\\
Analogamente: S[CIX]=S[CID]\\
\therefore S[AEIDC]=S[AIE]+S[AIX]+S[CID]+S[CIX]=\\
2⋅S[AIX]+2⋅S[CIX]=\\2⋅(S[AIX]+S[CIX])=2⋅S[AIC]=2⋅A[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\triangle AIE \cong AIX \implies S[AIX]=S[AIE].\\
Analogamente: S[CIX]=S[CID]\\
\therefore S[AEIDC]=S[AIE]+S[AIX]+S[CID]+S[CIX]=\\
2⋅S[AIX]+2⋅S[CIX]=\\2⋅(S[AIX]+S[CIX])=2⋅S[AIC]=2⋅A[/tex3]

(Solução:Gianni)

[jvmago]

Ué, pq AiC=120?

[jvmago]

Esse 120 só é possível se ABC for equilatero ou se EI=ID=IX=R

[jvmago]

Tanto que se I for baricentrico o problema fica trivial afinal ID=2AI E PORTANTO

AIC=2[IDC]

[Babi123]

Ué, pq AiC=120?

Propriedade: ângulo formado entre duas Bissetrizes (utilizando figura): [tex3]\angle AIC=90^{\circ}+\frac{\angle B}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle AIC=90^{\circ}+\frac{\angle B}{2}[/tex3]

[jvmago]

Ué, pq AiC=120?

Propriedade: ângulo formado entre duas Bissetrizes (utilizando figura): [tex3]\angle AIC=90^{\circ}+\frac{\angle B}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle AIC=90^{\circ}+\frac{\angle B}{2}[/tex3]

Realmente, é 120 mas e IX? Pq ele é bissetriz?