22 - Calcular a área quadrangular PBQD, se a
área da região ABC é S.
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A) S
Questões Perdidas ⇒ Solucionário:Racso - Cap XXI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:22 Tópico resolvido
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Jan 2022
10
18:28
Solucionário:Racso - Cap XXI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:22
Problema Proposto
22 - Calcular a área quadrangular PBQD, se a
área da região ABC é S.
A) S
22 - Calcular a área quadrangular PBQD, se a
área da região ABC é S.
A) S
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FelipeMartin
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Jan 2022
11
17:04
Re: Solucionário:Racso - Cap XXI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:22
imagino que tenha um jeito com menos contas, mas, vamos lá.
[tex3]2S_{PBD} = PB \cdot BD \cdot \sen (\alpha)[/tex3]
[tex3]2S_{QBD} = QB \cdot BD \cdot \sen (\alpha)[/tex3]
então:
[tex3]2S_{BPDQ} = (PB+ QB) \cdot BD \cdot \sen (\alpha) [/tex3]
agora, sabemos que [tex3]BPFQ[/tex3] é cíclico pelo ângulo [tex3]\theta[/tex3] na figura. Logo, podemos aplicar Ptolomeu neste quadrilátero sendo [tex3]PF = QF = x[/tex3] :
[tex3]BPx + BQx = PQ \cdot BF[/tex3] , mas [tex3]PQ = 2x \cos (\alpha)[/tex3] (pois [tex3]F[/tex3] está na mediatriz de [tex3]PQ[/tex3] e [tex3]\angle
FPQ = \angle FBQ[/tex3] ). Donde: [tex3](PB+BQ) = 2BF \cos (\alpha)[/tex3] .
Então: [tex3]2S_{BPDQ} = 2 BF \cdot BD \cdot \sen (\alpha) \cos (\alpha) = \sen (2\alpha) BF \cdot BD [/tex3]
agora a gente usa a fórmula do comprimento da bissetriz interna e Ptolomeu de novo (dessa vez no [tex3]ABCD[/tex3] ):
[tex3]BF = \frac{2 \cdot ca \cdot \cos (\alpha)}{c+a}[/tex3]
e [tex3]c \cdot y + a \cdot y = b \cdot BD[/tex3] , [tex3]b = 2y \cos (\alpha)[/tex3] : [tex3]a+c = 2BD \cos (\alpha)[/tex3] :
[tex3]2S_{PBDQ} = \sen (2\alpha) ac = 2S \iff S_{PBDQ} = S[/tex3]
[tex3]2S_{PBD} = PB \cdot BD \cdot \sen (\alpha)[/tex3]
[tex3]2S_{QBD} = QB \cdot BD \cdot \sen (\alpha)[/tex3]
então:
[tex3]2S_{BPDQ} = (PB+ QB) \cdot BD \cdot \sen (\alpha) [/tex3]
agora, sabemos que [tex3]BPFQ[/tex3] é cíclico pelo ângulo [tex3]\theta[/tex3] na figura. Logo, podemos aplicar Ptolomeu neste quadrilátero sendo [tex3]PF = QF = x[/tex3] :
[tex3]BPx + BQx = PQ \cdot BF[/tex3] , mas [tex3]PQ = 2x \cos (\alpha)[/tex3] (pois [tex3]F[/tex3] está na mediatriz de [tex3]PQ[/tex3] e [tex3]\angle
FPQ = \angle FBQ[/tex3] ). Donde: [tex3](PB+BQ) = 2BF \cos (\alpha)[/tex3] .
Então: [tex3]2S_{BPDQ} = 2 BF \cdot BD \cdot \sen (\alpha) \cos (\alpha) = \sen (2\alpha) BF \cdot BD [/tex3]
agora a gente usa a fórmula do comprimento da bissetriz interna e Ptolomeu de novo (dessa vez no [tex3]ABCD[/tex3] ):
[tex3]BF = \frac{2 \cdot ca \cdot \cos (\alpha)}{c+a}[/tex3]
e [tex3]c \cdot y + a \cdot y = b \cdot BD[/tex3] , [tex3]b = 2y \cos (\alpha)[/tex3] : [tex3]a+c = 2BD \cos (\alpha)[/tex3] :
[tex3]2S_{PBDQ} = \sen (2\alpha) ac = 2S \iff S_{PBDQ} = S[/tex3]
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
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