Questões Perdidas ⇒ Solucionário:Racso - Cap XXI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:10 Tópico resolvido

[petras]

Problema Proposto
10 - Calcular a área de um pentágono regular
em funcão de sua diagonal de longitude «a» .

Resposta

---

Não há alternativa correta (Resposta errada do livro: D) [tex3]\frac{a^2}{4}(25-10\sqrt5)[/tex3])

[petras]

(Solução trigonométrica: Jedi - viewtopic.php?f=4&t=58530&p=154363&hili ... ea#p154363)

[petras]

[tex3]\mathsf{
\text{R = raio círculo inscrito}\\
S_{ABCDE} = \frac{5R^2}{8}(\sqrt{10+2\sqrt5})\\
L=\frac{R}{2}(\sqrt{10-2\sqrt5})\implies R^2 = \frac{4L^2}{10-2\sqrt5}(I)\\
cos36^o=\frac{a}{2L} \implies a = L(\frac{1+\sqrt5)}{2}\implies L= \frac{2a}{1+\sqrt5}\implies L^2 = \frac{a^2}{4}(6-2\sqrt5)(II)\\
\therefore From(I): S = \frac{20L^2}{8(10-2\sqrt5)}.(\sqrt{10+2\sqrt5})\implies\\
S =\frac{5L^2}{2(10-2\sqrt5)}.(\sqrt{10+2\sqrt5})\\
From (II): S = \frac{5a^2(6-2\sqrt5)}{8.(10-2\sqrt5)}\cdot(\sqrt{10+2\sqrt5})=\\
S = \frac{a^2(5-\sqrt5)}{16}(\sqrt{10+2\sqrt5})\\
\boxed{\color{red}S = \frac{a^2}{4} \sqrt{\frac{25-5\sqrt5}{2} }}
}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{
\text{R = raio círculo inscrito}\\
S_{ABCDE} = \frac{5R^2}{8}(\sqrt{10+2\sqrt5})\\
L=\frac{R}{2}(\sqrt{10-2\sqrt5})\implies R^2 = \frac{4L^2}{10-2\sqrt5}(I)\\
cos36^o=\frac{a}{2L} \implies a = L(\frac{1+\sqrt5)}{2}\implies L= \frac{2a}{1+\sqrt5}\implies L^2 = \frac{a^2}{4}(6-2\sqrt5)(II)\\
\therefore From(I): S = \frac{20L^2}{8(10-2\sqrt5)}.(\sqrt{10+2\sqrt5})\implies\\
S =\frac{5L^2}{2(10-2\sqrt5)}.(\sqrt{10+2\sqrt5})\\
From (II): S = \frac{5a^2(6-2\sqrt5)}{8.(10-2\sqrt5)}\cdot(\sqrt{10+2\sqrt5})=\\
S = \frac{a^2(5-\sqrt5)}{16}(\sqrt{10+2\sqrt5})\\
\boxed{\color{red}S = \frac{a^2}{4} \sqrt{\frac{25-5\sqrt5}{2} }}
}[/tex3]