Questões Perdidas ⇒ Solucionário:Racso - Cap XXII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:07 Tópico resolvido

[petras]

Problema Proposto
7 - Se "O" é centro dos círculos de raios 1u e 2u.
Calcular a área da região sombreada

Resposta

---

D) [tex3]\frac{3\pi u^2}{2}[/tex3]

[LostWalker]

Nota: Resposta Elaborada antes de mudança no exercício, desconsiderar para a questão atual

Tendo as medidas de [tex3]\overline{GO}=2u[/tex3]

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[tex3]\overline{GO}=2u[/tex3]

e [tex3]\overline{EO}=u[/tex3]

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[tex3]\overline{EO}=u[/tex3]

. Sendo [tex3]\alpha=\angle GOE[/tex3]

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[tex3]\alpha=\angle GOE[/tex3]

, [tex3]\cos(\alpha)=\frac{u}{2u}=\frac{1}{2}\,\,\,\therefore\,\,\,\alpha=60^\circ[/tex3]

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[tex3]\cos(\alpha)=\frac{u}{2u}=\frac{1}{2}\,\,\,\therefore\,\,\,\alpha=60^\circ[/tex3]

. Logo, o Setor de [tex3]GOH[/tex3]

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[tex3]GOH[/tex3]

é [tex3]\frac{A_\circ}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{A_\circ}{3}[/tex3]

.

O triângulo [tex3]\Delta GOH[/tex3]

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[tex3]\Delta GOH[/tex3]

tem área [tex3]A_\triangle=\frac{2u\cdot2u\cdot\sen(120^\circ)}{2}=u^2\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]A_\triangle=\frac{2u\cdot2u\cdot\sen(120^\circ)}{2}=u^2\sqrt{3}[/tex3]

Com a informação inicial, sabemos que a branca em [tex3]GKH[/tex3]

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[tex3]GKH[/tex3]

é [tex3]A_S=\frac{A_\circ}{3}-u^2\sqrt{3}=\frac{4u^2\pi-3u^2\sqrt{3}}{3}[/tex3]

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[tex3]A_S=\frac{A_\circ}{3}-u^2\sqrt{3}=\frac{4u^2\pi-3u^2\sqrt{3}}{3}[/tex3]

Finalizando, a parte cinza se trata de [tex3]S=A_\circ -2A_s-A_{_\circ}[/tex3]

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[tex3]S=A_\circ -2A_s-A_{_\circ}[/tex3]

[tex3]S=4u^2\pi-2\cdot\frac{4u^2\pi-3u^2\sqrt{3}}{3}-u^2\pi[/tex3]

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[tex3]S=4u^2\pi-2\cdot\frac{4u^2\pi-3u^2\sqrt{3}}{3}-u^2\pi[/tex3]

[tex3]S=\frac{12u^2\pi-8u^2\pi-6u^2\sqrt{3}-3u^2\pi}{3}[/tex3]

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[tex3]S=\frac{12u^2\pi-8u^2\pi-6u^2\sqrt{3}-3u^2\pi}{3}[/tex3]

[tex3]S=\frac{u^2\pi+6u^2\sqrt{3}}{3}[/tex3]

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[tex3]S=\frac{u^2\pi+6u^2\sqrt{3}}{3}[/tex3]

[tex3]\boxed{S=\frac{u^2(\pi+6\sqrt{3})}{3}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{S=\frac{u^2(\pi+6\sqrt{3})}{3}}[/tex3]

Alguém saberia me dizer onde eu perdi a mão?

[petras]

LostWalker,

Está correto sua resolução, proavelemnte o gabarito está errado ou o desenho está com o sombreamente errado..o que é comum nesse livro

[LostWalker]

petras, essas questões estão me matando. Obrigado pelas mesmas

[LostWalker]

Sabendo-se pela simetria que a a forma composta por [tex3]EHCB=GEAD=BCJF=DAFI[/tex3]

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[tex3]EHCB=GEAD=BCJF=DAFI[/tex3]

, também que [tex3]KEG=KEH=IFL=FLJ[/tex3]

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[tex3]KEG=KEH=IFL=FLJ[/tex3]

, podemos dizer que a área sombreada corresponde a:

[tex3]\frac{A_\circ}{2}-\frac{A_{_\circ}}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{A_\circ}{2}-\frac{A_{_\circ}}{2}[/tex3]

Temos que:

[tex3]S=\frac{(2u)^2\pi-u^2\pi}{2}=\frac{4u^2\pi-u^2\pi}{2}[/tex3]

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[tex3]S=\frac{(2u)^2\pi-u^2\pi}{2}=\frac{4u^2\pi-u^2\pi}{2}[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{S=\frac{3u^2\pi}{2}}[/tex3]

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[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{S=\frac{3u^2\pi}{2}}[/tex3]