Questões Perdidas ⇒ Solucionário:Racso - Cap IV - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:32 Tópico resolvido

[petras]

Problema Proposto
32 - As medidas dos lados AB, BD e BC são expressas por números inteiros.
Se AB + BD = k, achar a soma dos valores máximo e mínimo que BC pode assumir.

Resposta

---

E) k

[jvmago]

viewtopic.php?t=59193

[petras]

Pela desigualdade dos poligonais no triângulo BCD

BD - DC < x < BD + DC (I)

Analogamente em ABC:

AC - AB < x < AB + AC (II)

(I) + (II) : AC + BD - AB - DC < 2x < k +AC + DC (III)

Sabemos também que: AD < AB + BD
AD < k como K é inteiro então AD = k - 1

Por outro lado: AD < AC + DC
k - 1 < AC + DC [tex3]\therefore[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\therefore[/tex3]

AC + DC = k (IV)

(IV) em (III): 2x < k + k [tex3]\rightarrow [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow [/tex3]

x < k [tex3]\rightarrow \boxed{x_{max} = k - 1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow \boxed{x_{max} = k - 1}[/tex3]

(V)

Usando desigualdade em ACD:

K - 1 > DC então DC = k - 2

Usando desigualdade em BCD:
x > k - 2 logo [tex3]\boxed { x_{min} = k - 1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed { x_{min} = k - 1}[/tex3]

(VI)

(V)+(VI) [tex3]\therefore \boxed{\color{red} x = 2k - 2} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\therefore \boxed{\color{red} x = 2k - 2} [/tex3]

(Solução: jvmago)

[petras]

[tex3]AB=a,AD=b,BC=c\\

△ABC: asin3θ = csinθ ⇒ a(3sinθ−4sin3θ) = csinθ ⇒ a(3−4sin2θ) = c ⇒ \\
sin^2θ=\frac{3a−c}{4a} ⇒ c < 3a \\
△BCD:csin ∠BCD=bsin2θ ⇒ sin ∠BCD=bcsin2θ\\
0 < ∠CBD < 180∘−4θ, ∠BCD=180∘−∠CBD−2θ⇒ 2θ < ∠BCD < 180∘−2θ⇒\\ sin∠BCD > sin2θ⇒c < b
Any c < min(3a,b) \text{é condição satisfatória} \therefore\\
c_{min}=1, c_{max}=k−1 \implies \boxed{\color{red} c_{min}+c_{max}=k} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AB=a,AD=b,BC=c\\

△ABC: asin3θ = csinθ ⇒ a(3sinθ−4sin3θ) = csinθ ⇒ a(3−4sin2θ) = c ⇒ \\
sin^2θ=\frac{3a−c}{4a} ⇒ c < 3a \\
△BCD:csin ∠BCD=bsin2θ ⇒ sin ∠BCD=bcsin2θ\\
0 < ∠CBD < 180∘−4θ, ∠BCD=180∘−∠CBD−2θ⇒ 2θ < ∠BCD < 180∘−2θ⇒\\ sin∠BCD > sin2θ⇒c < b
Any c < min(3a,b) \text{é condição satisfatória} \therefore\\
c_{min}=1, c_{max}=k−1 \implies \boxed{\color{red} c_{min}+c_{max}=k} [/tex3]

(Solução: IvanK.)