Questões Perdidas ⇒ Geometria Espacial - Tetraedro Tópico resolvido

[leoaraujo]

Um recipiente em forma de um tetraedro regular invertido de aresta medindo 1m está com água até a metade de sua altura. Invertendo o recipiente, qual será a altura do nível da água?

[Tassandro]

leoaraujo,
Se a razão entre as alturas vale [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

, a razão entre os volumes valerá [tex3]\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}[/tex3]

.
Logo, o volume da parte sem água vale [tex3]\frac{7}{8}V_T[/tex3]

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[tex3]\frac{7}{8}V_T[/tex3]

.
Quando viraramos, passaremos a ter um tetraedro menor vazio, cujo volume valerá [tex3]\frac{7}8V_T[/tex3]

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[tex3]\frac{7}8V_T[/tex3]

. Assim, a altura da parte ocupada pela água valerá:
[tex3]h_T\(1-\frac{\sqrt[3]7}{2}\)[/tex3]

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[tex3]h_T\(1-\frac{\sqrt[3]7}{2}\)[/tex3]

A altura do tetraedro regular valerá [tex3]\frac{\sqrt6}{3}\space m[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt6}{3}\space m[/tex3]

.
Assim, nossa resposta vale:
[tex3]\frac{\sqrt6}{3}\(1-\frac{\sqrt[3]7}{2}\)[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt6}{3}\(1-\frac{\sqrt[3]7}{2}\)[/tex3]