Ensino FundamentalNúmeros Reais Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Fundamental devem ser postados aqui (exceto problemas de Vestibulares).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
Fibonacci13
3 - Destaque
Mensagens: 819
Registrado em: Sex 13 Set, 2019 17:01
Última visita: 19-03-24
Dez 2021 12 21:32

Números Reais

Mensagem não lida por Fibonacci13 »

Qual das seguintes afirmativas é sempre verdadeira para quaisquer números reais a, b e c?

I) Se a < b, então ac < bc

II) Se a<b, então a^2 < b^2

III) Se a < b, então a^3 < b ^3

IV) Se ac < bc, então a < b

V) Se a > b, então 1/a > 1/b

Poderiam me ajudar a resolver sem substituir a, b e c por números?


Resposta

S/GABARITO



Não desista dos seus sonhos, continue dormindo.

Avatar do usuário
Berredo
2 - Nerd
Mensagens: 295
Registrado em: Sex 27 Jul, 2018 20:00
Última visita: 22-03-24
Localização: Belém/Pa
Dez 2021 13 23:55

Re: Números Reais

Mensagem não lida por Berredo »

Se [tex3]a< b[/tex3] ou seja [tex3]a-b<0[/tex3] temos
[tex3]a^3-b^3[/tex3]
[tex3]a^3-b^3<0[/tex3]
[tex3](a-b)(a^2+ab+b^2)<0[/tex3] (1)
De [tex3]a^2> 0[/tex3] ; [tex3]b^2>0[/tex3] e como [tex3]a< b[/tex3] temos [tex3]ab>0[/tex3] talvez aqui devo provar que isso é válido
Concluímos que [tex3](1)[/tex3] é sempre verdadeiro.
As outras depende de valores de a,b e c.



" A matemática, senhora que ensina o homem a ser simples e modesto. É a base de todas as ciências e de todas as artes".Malba Tahan 8):!:

Avatar do usuário
Berredo
2 - Nerd
Mensagens: 295
Registrado em: Sex 27 Jul, 2018 20:00
Última visita: 22-03-24
Localização: Belém/Pa
Dez 2021 14 20:58

Re: Números Reais

Mensagem não lida por Berredo »

I) [tex3]ac< bc[/tex3]
[tex3]ac-bc<0[/tex3]
[tex3]c(a-b)<0[/tex3] [tex3](1)[/tex3]
De [tex3]a< b[/tex3] , temos [tex3]a-b<0[/tex3]
Daí, para que a operação seja válida em [tex3](1)[/tex3] há uma dependência de [tex3]c[/tex3] ser positivo ou negativo.
Portanto, não podemos afirmar que é sempre verdadeira.

II) [tex3]a^2< b^2[/tex3]
[tex3]a^2-b^2<0[/tex3]
[tex3](a+b)(a-b)<0[/tex3] [tex3](2)[/tex3]
De [tex3]a< b[/tex3] , temos [tex3]a-b< 0[/tex3]
Daí, para que a operação seja válida em [tex3](2)[/tex3] há uma dependência de [tex3](a+b)[/tex3] ser positivo ou negativo.
Logo, não podemos afirmar que é sempre verdadeira.

III) [tex3]a^3< b^3[/tex3]
[tex3]a^3-b^3<0[/tex3]
[tex3](a-b)(a^2+ab+b^2)<0[/tex3] [tex3](3)[/tex3]
Vamos manipular algebricamente [tex3]a^2+ab+b^2[/tex3] para o seguinte formato:
[tex3]a^2+ab+\frac{b^2}{4}-\frac{b^2}{4}+b^2[/tex3] daí
[tex3]\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}[/tex3]
De [tex3]\left(a+\frac{b}{2}\right)^2>0[/tex3] e [tex3]b^2>0[/tex3]
Como [tex3]\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}>0[/tex3] então [tex3]a^2+ab+b^2>0[/tex3]
para [tex3]a< b[/tex3] temos [tex3]a-b< 0[/tex3]
Portanto, a operação é válida em [tex3](3)[/tex3] , para qualquer valor, ou seja, sempre verdadeira.

IV É o oposto de I. Não podemos afirmar pois o [tex3]c[/tex3] pode ser positivo ou negativo.

V) [tex3]\frac{1}{a}>\frac{1}{b}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{a}-\frac{1}{b}>0[/tex3]
[tex3]b-a>0[/tex3]
[tex3]-(a-b)>0[/tex3] [tex3](4)[/tex3]
De [tex3]a>b[/tex3] temos [tex3]a-b>0[/tex3]
Portanto, em [tex3](4)[/tex3] Não é verdadeira.


" A matemática, senhora que ensina o homem a ser simples e modesto. É a base de todas as ciências e de todas as artes".Malba Tahan 8):!:

Avatar do usuário
Autor do Tópico
Fibonacci13
3 - Destaque
Mensagens: 819
Registrado em: Sex 13 Set, 2019 17:01
Última visita: 19-03-24
Dez 2021 14 22:37

Re: Números Reais

Mensagem não lida por Fibonacci13 »

Opa, Muito obrigado. Berredo.



Não desista dos seus sonhos, continue dormindo.

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Ensino Fundamental”