Ensino Fundamental ⇒ (CN-2021)MDC

[AngelitaB]

O MDC ([tex3]10^{35}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]10^{35}[/tex3]

- 1);([tex3]10^{40}[/tex3]

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[tex3]10^{40}[/tex3]

- 1) vale:
a)99999
b)9999
c)999
d)99
e)9

Resposta

---

a

[careca]

Vamos trabalhar essa questão com mod.

A forma mais fácil de resolver essa questão é pelas alternativas, observando a letra (A)[ maior das alternativas] 99999

Note que [tex3]10^5 ≡1mod(99999)[/tex3]

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[tex3]10^5 ≡1mod(99999)[/tex3]

E daí: [tex3]10^{35} -1≡[10^5]^7-1≡1-1≡0 [/tex3]

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[tex3]10^{35} -1≡[10^5]^7-1≡1-1≡0 [/tex3]

[tex3]10^{40}-1≡[10^5]^8-1 ≡1-1≡0 [/tex3]

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[tex3]10^{40}-1≡[10^5]^8-1 ≡1-1≡0 [/tex3]

Já que 99999 é a maior das alternativas e divide ambas as expressões, esse é o MDC (A)

[castelohsi]

Outra maneira:

No livro dos mestres Iury Kernowsky e Ivan Mendes - Aritmética ELementar - há uma propriedade interessante do MDC entre números do tipo [tex3]a^{x}-1[/tex3]

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[tex3]a^{x}-1[/tex3]

, onde a e x são inteiros maiores que a unidade:

[tex3]MDC(a^{x}-1;a^{y}-1;a^{z}-1;...)=a^{MDC(x;y;z...)}-1[/tex3]

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[tex3]MDC(a^{x}-1;a^{y}-1;a^{z}-1;...)=a^{MDC(x;y;z...)}-1[/tex3]

Usando essa propriedade, temos:

[tex3]MDC(10^{40}-1;10^{35}-1)=10^{MDC(40;35)}-1[/tex3]

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[tex3]MDC(10^{40}-1;10^{35}-1)=10^{MDC(40;35)}-1[/tex3]

[tex3]MDC(10^{40}-1;10^{35}-1)=10^{5}-1[/tex3]

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[tex3]MDC(10^{40}-1;10^{35}-1)=10^{5}-1[/tex3]

[tex3]MDC(10^{40}-1;10^{35}-1)=99999[/tex3]

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[tex3]MDC(10^{40}-1;10^{35}-1)=99999[/tex3]

[Leandro2112]

Outra maneira:

No livro dos mestres Iury Kernowsky e Ivan Mendes - Aritmética ELementar - há uma propriedade interessante do MDC entre números do tipo [tex3]a^{x}-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^{x}-1[/tex3]

, onde a e x são inteiros maiores que a unidade:

[tex3]MDC(a^{x}-1;a^{y}-1;a^{z}-1;...)=a^{MDC(x;y;z...)}-1[/tex3]

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[tex3]MDC(a^{x}-1;a^{y}-1;a^{z}-1;...)=a^{MDC(x;y;z...)}-1[/tex3]

Usando essa propriedade, temos:

[tex3]MDC(10^{40}-1;10^{35}-1)=10^{MDC(40;35)}-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]MDC(10^{40}-1;10^{35}-1)=10^{MDC(40;35)}-1[/tex3]

[tex3]MDC(10^{40}-1;10^{35}-1)=10^{5}-1[/tex3]

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[tex3]MDC(10^{40}-1;10^{35}-1)=10^{5}-1[/tex3]

[tex3]MDC(10^{40}-1;10^{35}-1)=99999[/tex3]

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[tex3]MDC(10^{40}-1;10^{35}-1)=99999[/tex3]

Muito interessante.
Dessa eu não sabia.

[castelohsi]

Outra maneira:

No livro dos mestres Iury Kernowsky e Ivan Mendes - Aritmética ELementar - há uma propriedade interessante do MDC entre números do tipo [tex3]a^{x}-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^{x}-1[/tex3]

, onde a e x são inteiros maiores que a unidade:

[tex3]MDC(a^{x}-1;a^{y}-1;a^{z}-1;...)=a^{MDC(x;y;z...)}-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]MDC(a^{x}-1;a^{y}-1;a^{z}-1;...)=a^{MDC(x;y;z...)}-1[/tex3]

Usando essa propriedade, temos:

[tex3]MDC(10^{40}-1;10^{35}-1)=10^{MDC(40;35)}-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]MDC(10^{40}-1;10^{35}-1)=10^{MDC(40;35)}-1[/tex3]

[tex3]MDC(10^{40}-1;10^{35}-1)=10^{5}-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]MDC(10^{40}-1;10^{35}-1)=10^{5}-1[/tex3]

[tex3]MDC(10^{40}-1;10^{35}-1)=99999[/tex3]

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[tex3]MDC(10^{40}-1;10^{35}-1)=99999[/tex3]

Muito interessante.
Dessa eu não sabia.

Há outra propriedade interessante, vou colocá-la nesse tópico para complementar.

1) O MDC entre números com uma certa quantidade de algarismos iguais é uma quantidade deste mesmo algarismo expresso pelo MDC das quantidades propostas.

Ex.: [tex3]MDC(333333;3333)=>MDC(6;4)=2\rightarrow MDC(333333;3333)=33 [/tex3]

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[tex3]MDC(333333;3333)=>MDC(6;4)=2\rightarrow MDC(333333;3333)=33 [/tex3]

Ex. 2: [tex3]MDC(7777;77777777)=>MDC(4;8)=4 \rightarrow MDC(7777;77777777)=7777[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]MDC(7777;77777777)=>MDC(4;8)=4 \rightarrow MDC(7777;77777777)=7777[/tex3]

Coloquei exemplos menores para facilitar a visualização.