Saudações, papiroinsano1. Resolvi essa questão um dia desses no livro dos mestre Kernowsky e Ivan, preparando-me para a EPCAR. Acredito que essa questão não foi anulada, mas se foi, poderia dizer o motivo? Fiquei curioso.
Resolução:
I) Colocando os valores em (mod 2008):
[tex3]2009^{40}≡1(mod2008)[/tex3]
[tex3]2010≡2(mod2008)[/tex3]
Temos: [tex3][1(mod2008)^{40}-1(mod2008)]^{40}-2(mod2008)[/tex3]
=> [tex3]-2(mod2008)[/tex3]
Portanto, a expressão não é divisível por 2008 pois deixa resto.
II) Colocando os valores em (mod 2009)
[tex3]2009^{40}≡0(mod2009)[/tex3]
[tex3]2010≡1(mod2009)[/tex3]
Temos: [tex3][0(mod2009)^{40}-1(mod2009)]^{40}-1(mod2009)[/tex3]
[tex3][-1mod(2009)]^{40}-1(mod2009)[/tex3]
=> [tex3]0(mod2009)[/tex3]
Portanto, a expressão é divisível pois deixa resto zero.
III) Manipulando a informação dada:
[tex3]2009^{40}-2010≡0(mod[2009^{40}-2010])[/tex3]
[tex3]2009^{40}≡2010(mod[2009^{40}-2010])[/tex3]
A partir disso, podemos resolver a congruência:
[tex3][2010(mod[2009^{40}-2010])-1(mod[2009^{40}-2010])]^{40}-2010(mod[2009^{40}-2010])[/tex3]
[tex3][2009(mod[2009^{40}-2010])]^{40}-2010(mod[2009^{40}-2010])[/tex3]
[tex3]2010(mod[2009^{40}-2010])-2010(mod[2009^{40}-2010])[/tex3]
=> [tex3]0(mod[2009^{40}-2010])[/tex3]
Portanto, a expressão é divisível pois deixa resto zero.
As assertivas II e III estão corretas.
"E disse o divino: ame seu inimigo. Eu obedeci e amei a mim mesmo" - K. Gilbran
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