Ensino Fundamental ⇒ Linhas e círculos tangentes. Tópico resolvido

[geobson]

T é ponto de tangência. Se Ta=4 e BC=5, calcule AB.
A)1
B)9
C)[tex3]\sqrt{6}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{6}[/tex3]

D)2([tex3]\sqrt{6 -1)}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{6 -1)}[/tex3]

E)([tex3]\sqrt{6-2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{6-2}[/tex3]

)

Resposta

---

D

[FelipeMartin]

PB é paralela a QC pois aquela ceviana no meio determina dois pontos homotéticos e a homotetia preserva o paralelismo entre as retas, logo [tex3]\triangle PTB \sim \triangle QTC[/tex3]

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[tex3]\triangle PTB \sim \triangle QTC[/tex3]

:

[tex3]\frac{TB}{TP} = \frac{TC}{TQ} \iff \frac{TB}{TC} = \frac{TP}{TQ}[/tex3]

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[tex3]\frac{TB}{TP} = \frac{TC}{TQ} \iff \frac{TB}{TC} = \frac{TP}{TQ}[/tex3]

mas [tex3]\frac{TP}{TQ}[/tex3]

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[tex3]\frac{TP}{TQ}[/tex3]

é a razão da homotetia entre os círculos, ou seja, é [tex3]\frac{TA}{TB}[/tex3]

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[tex3]\frac{TA}{TB}[/tex3]

, donde:

[tex3]TB^2 = TA \cdot TC[/tex3]

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[tex3]TB^2 = TA \cdot TC[/tex3]

seja [tex3]x = AB[/tex3]

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[tex3]x = AB[/tex3]

, então:

[tex3](4+x)^2 = 4\cdot(9+x) \iff 16 + 8x + x^2 = 36 + 4x \iff x^2 + 4x-20 =0 [/tex3]

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[tex3](4+x)^2 = 4\cdot(9+x) \iff 16 + 8x + x^2 = 36 + 4x \iff x^2 + 4x-20 =0 [/tex3]

[tex3](x-2)^2=24 \iff x = 2 \pm 2\sqrt6 \implies x = 2(1+\sqrt6)[/tex3]

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[tex3](x-2)^2=24 \iff x = 2 \pm 2\sqrt6 \implies x = 2(1+\sqrt6)[/tex3]

[geobson]

pontos homotéticos e a homotetia preserva o paralelismo entre as retas,

Legal esse assunto. Tomara que tenha no seu livro.
Bonito problema esse.

[FelipeMartin]

geobson, tem um capítulo só sobre homotetia nele. Foi um dos motivos pra eu escrever o livro.

[geobson]

FelipeMartin, que bom.seu livro , pelo que parece,vai de fato preencher uma grande lacuna , um vácuo deixado por esses livros de geometria que conhecemos. E isso é muito bom, um trabalho louvável...