Ensino Fundamental ⇒ Razão entre áreas triangulares. Tópico resolvido

[geobson]

Segundo o desenho, P, Q e T são pontos de tangência. Calcule a razão entre as áreas sombreadas.
A)1
B)2
C)3
D)4
E)6

Resposta

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D

[FelipeMartin]

Sabemos, do teorema da reta EF, que a razão entre as bases dos triângulos roxos (em relação ao centro [tex3]K[/tex3]

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[tex3]K[/tex3]

do círculo) é dada por [tex3]\sen (\frac{60^{\circ}}2) = \frac12[/tex3]

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[tex3]\sen (\frac{60^{\circ}}2) = \frac12[/tex3]

(vide aqui em caso de dúvida). Também sabemos que os triângulos roxos são semelhantes (isso fica claro se der os nomes pros pontos, mas me deu preguiça; é só pensar no quadrilátero cíclico formado pelos vértices dos triângulos roxos menos [tex3]K[/tex3]

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[tex3]K[/tex3]

).

Logo a razão entre as áreas é a razão entre as bases ao quadrado, ou seja [tex3]1:4[/tex3]

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[tex3]1:4[/tex3]