Ensino Fundamental

Mensagem não lidapor **geobson** » 22 Mai 2021, 14:19 · Mensagem não lida por **geobson** » 22 Mai 2021, 14:19

Calcular AB , sabendo que as circunferências sâo concêntricas , os raios medem 1 e 2 , MP=1.( O centro).

Resposta

[tex3]\frac{1}{2}[/tex3] (2 [tex3]\sqrt{8} + \sqrt{5}[/tex3] )

Pitágoras no [tex3]\triangle OAP[/tex3] : [tex3]AP^2 = 3^2 - 2^2 = 5 \implies AP = \sqrt{5}[/tex3]

Pitágoras no [tex3]\triangle OBP[/tex3] : [tex3]BP^2 = 3^2 - 1^2 = 8 \implies BP = 2\sqrt2[/tex3]

Geobson, deve ter um jeito esperto de resolver, mas vou matar na conta:

Seja [tex3]\alpha = \angle OPB[/tex3]
[tex3]\sen (\alpha) = \frac{1}3[/tex3] e [tex3]\cos (\alpha) = \frac{2\sqrt2}3[/tex3]
Seja [tex3]\beta = \angle OPA[/tex3] , então:
[tex3]\sen (\beta) = \frac23[/tex3] e [tex3]\cos (\beta) = \frac{\sqrt5}3[/tex3]

então [tex3]\cos(\alpha+\beta) = \cos (\angle BPA) = \cos (\alpha) \cos (\beta) - \sen(\alpha) \sen(\beta) = \frac{2\sqrt{10} - 2}9[/tex3]
lei dos cossenos no [tex3]\triangle APB[/tex3] :

[tex3]AB^2 = 5 + 8 - 4 \sqrt{10} \cdot \frac{2(\sqrt{10}-1)}9 = 13 - \frac{80}9 + \frac{8\sqrt{10}}9 = \frac{37+8\sqrt{10}}9[/tex3]
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[tex3]AB = \frac{\sqrt{37+8\sqrt{10}}}3[/tex3]

Mensagem não lidapor **geobson** » 22 Mai 2021, 17:07 · Mensagem não lida por **geobson** » 22 Mai 2021, 17:07

FelipeMartin escreveu: ↑22 Mai 2021, 15:35 Geobson, deve ter um jeito esperto de resolver, mas vou matar na conta:

Obrigado, meu amigo.
O importante é matar . he he ....

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