Ensino Fundamental ⇒ Semelhança de triângulos. Tópico resolvido

[geobson]

Na figura, PQRS é um quadrado de centro O. Se AP= 4 e SC=9 , calcule PT.
A)5,4
B)1,8
C)1,2
D)2,4
E)3,6

Resposta

---

E

[FelipeMartin]

Seja [tex3]x = QP[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x = QP[/tex3]

,[tex3]\triangle AQP \sim \triangle RCS[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\triangle AQP \sim \triangle RCS[/tex3]

:

[tex3]\frac{AP}{x} = \frac{x}{SC} \iff x^2 = 4 \cdot 9 \iff x = 6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{AP}{x} = \frac{x}{SC} \iff x^2 = 4 \cdot 9 \iff x = 6[/tex3]

Será que existe uma semelhança que mate rápido isso ai? Traçando as alturas de B e O até AC sai... talvez usando uma homotetia entre esses dois quadrados:

problemageobso.png (22.19 KiB) Exibido 8071 vezes

[geobson]

Sinceramente, não sei onde errei.

[FelipeMartin]

geobson, BO não é bissetriz

[geobson]

FelipeMartin, ah...pensei que a bissetriz passava pelo centro do círculo.

[geobson]

FelipeMartin, não é bissetriz, mas não interferiu no cálculo porque não usei teorema de bissetriz nem nada apenas nomeei erroneamente o segmento

[FelipeMartin]

geobson, [tex3]BH = \frac{36}{13} \implies QH = \frac{24}{13} \implies HM = \frac{15}{13}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BH = \frac{36}{13} \implies QH = \frac{24}{13} \implies HM = \frac{15}{13}[/tex3]

[tex3]\frac{MO}{BH} = \frac{NM}{NH} \iff \frac6{\frac{36}{13}} = \frac{3-x}{x} \iff \frac{13}6 + 1 = \frac3x \iff x = \frac{18}{19}= NH[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{MO}{BH} = \frac{NM}{NH} \iff \frac6{\frac{36}{13}} = \frac{3-x}{x} \iff \frac{13}6 + 1 = \frac3x \iff x = \frac{18}{19}= NH[/tex3]

(você errou alguma conta aqui)

[tex3]TH_2 = \frac{19}{6} \cdot \frac{18}{19} = 3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]TH_2 = \frac{19}{6} \cdot \frac{18}{19} = 3[/tex3]

como [tex3]BH_2 = 6 + BH = 6 + \frac{36}{13} = \frac{114}{13}[/tex3]

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[tex3]BH_2 = 6 + BH = 6 + \frac{36}{13} = \frac{114}{13}[/tex3]

e [tex3]BH_2 = \frac32 AH_2 \implies AH_2 = \frac{76}{13} \implies PH_2 = \frac{76}{13}-4 = \frac{24}{13}[/tex3]

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[tex3]BH_2 = \frac32 AH_2 \implies AH_2 = \frac{76}{13} \implies PH_2 = \frac{76}{13}-4 = \frac{24}{13}[/tex3]

então [tex3]PT = \frac{24}{13} + 3 \approx 4,84[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]PT = \frac{24}{13} + 3 \approx 4,84[/tex3]

[geobson]

FelipeMartin, mesmo assim nao tem no gabarito. Né?

[FelipeMartin]

geobson, talvez eu tenha errado depois do [tex3]\frac{18}{19}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{18}{19}[/tex3]

[petras]

geobson,

Suas contas estão certas...
Você errou na última linha

PT não é 3+H2T e sim 3 + DT