Ensino Fundamental ⇒ Problema geométrico. Tópico resolvido

[geobson]

Se O é centro, PM=2 e TN=3 . calcule QH (P e T são pontos de tangência).
A)2,1
B)2,2
C)2,3
D)2,5
E)2,4

Resposta

---

E

[FelipeMartin]

É meio que o mesmo esquema desse aqui. Nós temos [tex3]\angle
PHM = \angle THN \implies \triangle PHM \sim \triangle THN[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle
PHM = \angle THN \implies \triangle PHM \sim \triangle THN[/tex3]

.

Logo [tex3]\frac{MH}{HN} = \frac23[/tex3]

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[tex3]\frac{MH}{HN} = \frac23[/tex3]

.

Do teorema de Tales, [tex3]\frac{PQ}{QT} = \frac23[/tex3]

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[tex3]\frac{PQ}{QT} = \frac23[/tex3]

Seja [tex3]C = PT \cap AB[/tex3]

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[tex3]C = PT \cap AB[/tex3]

, das semelhanças (acho que dá pra fazer por tales) [tex3]\triangle CPM \sim \triangle CQH \sim CTN[/tex3]

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[tex3]\triangle CPM \sim \triangle CQH \sim CTN[/tex3]

:

[tex3]\frac{QH}{PM} -1= \frac{CQ}{CP}-1 = \frac{PQ}{CP}[/tex3]

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[tex3]\frac{QH}{PM} -1= \frac{CQ}{CP}-1 = \frac{PQ}{CP}[/tex3]

analogamente:

[tex3]\frac{TN}{PM} - 1 = \frac{PT}{CP} = \frac12[/tex3]

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[tex3]\frac{TN}{PM} - 1 = \frac{PT}{CP} = \frac12[/tex3]

donde, sendo [tex3]QH = x[/tex3]

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[tex3]QH = x[/tex3]

:

[tex3]\frac{QH}{PM} -1 =\frac{PQ}{2\cdot PT} \implies \frac x2 -1 = \frac1{2+3} \iff x = \frac{12}5 = 2,4[/tex3]

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[tex3]\frac{QH}{PM} -1 =\frac{PQ}{2\cdot PT} \implies \frac x2 -1 = \frac1{2+3} \iff x = \frac{12}5 = 2,4[/tex3]

Se [tex3]PM = a[/tex3]

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[tex3]PM = a[/tex3]

e [tex3]TN = b[/tex3]

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[tex3]TN = b[/tex3]

, então [tex3]QH = \frac{2ab}{a+b}[/tex3]

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[tex3]QH = \frac{2ab}{a+b}[/tex3]

[FelipeMartin]

geobson, editei a resposta e agora ela está certa, é a letra E.

[geobson]

FelipeMartin, o que acho mais legal , nessas peruanas é a diversidade de construções , são criativos demais.

[FelipeMartin]

geobson, eles são bem didáticos também. Não mandam uns problemas muito fora do nível né? O que estraga são os enunciados ambíguos ou incompletos.

[geobson]

FelipeMartin, isso, isso, isso.