A)[tex3]\sqrt{ab}[/tex3]
B)2 [tex3]\sqrt{ab}[/tex3]
C)[tex3]\frac{a + b }{2}[/tex3]
D)a [tex3]\sqrt{a^{2} + b^{2}}[/tex3]
E)[tex3]\sqrt{a^{2} + b^{2}}[/tex3]
Resposta
E
Ensino Fundamental ⇒ Problema. Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jun 2021
05
06:17
Problema.
Na figura , A é ponto de tangência . se AB=a. E CD=b. , calcule BC.
A)[tex3]\sqrt{ab}[/tex3]
B)2 [tex3]\sqrt{ab}[/tex3]
C)[tex3]\frac{a + b }{2}[/tex3]
D)a [tex3]\sqrt{a^{2} + b^{2}}[/tex3]
E)[tex3]\sqrt{a^{2} + b^{2}}[/tex3]
E
A)[tex3]\sqrt{ab}[/tex3]
B)2 [tex3]\sqrt{ab}[/tex3]
C)[tex3]\frac{a + b }{2}[/tex3]
D)a [tex3]\sqrt{a^{2} + b^{2}}[/tex3]
E)[tex3]\sqrt{a^{2} + b^{2}}[/tex3]
E
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FelipeMartin
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Jun 2021
05
08:21
Re: Problema.
Seja [tex3]T[/tex3]
o vértice dos ângulos [tex3]\theta[/tex3]
e seja [tex3]E[/tex3]
o segundo encontro de [tex3]BD[/tex3]
com o círculo.
Repare que [tex3]BC[/tex3] é bissetriz externa do [tex3]\triangle TED[/tex3] , pois é perpendicular à bissetriz interna pelo vértice [tex3]T[/tex3] . Logo:
[tex3]\frac{BE}{ET} = \frac{BD}{TD}[/tex3] , mas [tex3]BD = \frac{a^2}{BE}[/tex3] (potência de B)
[tex3]BE^2 = a^2 \cdot \frac{ET}{TD}[/tex3]
como [tex3]\triangle BCD \sim \triangle BET[/tex3] :
[tex3]\frac{BE}{BC} = \frac{ET}{CD} \implies BC = b \cdot a \sqrt{\frac1{TD \cdot ET}}[/tex3]
como [tex3]\triangle BTE \sim \triangle DTC[/tex3] :
[tex3]\frac{BT}{TD} = \frac{ET}{TC} \iff BT \cdot TC = ET \cdot TD[/tex3]
[tex3]BC = \frac{ab}{\sqrt{BT \cdot TC}}[/tex3]
tá faltando um passo final ainda.
Repare que [tex3]BC[/tex3] é bissetriz externa do [tex3]\triangle TED[/tex3] , pois é perpendicular à bissetriz interna pelo vértice [tex3]T[/tex3] . Logo:
[tex3]\frac{BE}{ET} = \frac{BD}{TD}[/tex3] , mas [tex3]BD = \frac{a^2}{BE}[/tex3] (potência de B)
[tex3]BE^2 = a^2 \cdot \frac{ET}{TD}[/tex3]
como [tex3]\triangle BCD \sim \triangle BET[/tex3] :
[tex3]\frac{BE}{BC} = \frac{ET}{CD} \implies BC = b \cdot a \sqrt{\frac1{TD \cdot ET}}[/tex3]
como [tex3]\triangle BTE \sim \triangle DTC[/tex3] :
[tex3]\frac{BT}{TD} = \frac{ET}{TC} \iff BT \cdot TC = ET \cdot TD[/tex3]
[tex3]BC = \frac{ab}{\sqrt{BT \cdot TC}}[/tex3]
tá faltando um passo final ainda.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
Jun 2021
05
08:32
Re: Problema.
FelipeMartin, teria alguma relação com algum desses dois teoremas?
- Anexos
-
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-
FelipeMartin
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- Registrado em: Sáb 04 Jul, 2020 10:47
- Última visita: 13-04-24
Jun 2021
05
08:35
Re: Problema.
geobson, já vi: como [tex3]\angle BTE = \angle BDC[/tex3]
, então [tex3]TCDE[/tex3]
é cíclico, logo: [tex3]a^2 = BT \cdot BC[/tex3]
.
[tex3]a^2 = BT \cdot \frac{ab}{\sqrt{BT \cdot TC}} \iff \frac ab = \sqrt{\frac{BT}{TC}} \iff BT = TC \cdot \frac{a^2}{b^2} [/tex3]
pronto: [tex3]BC = TC \frac{a^2+b^2}{b^2} \iff TC = BC \frac{b^2}{a^2+b^2} \implies BT = BC \frac{a^2}{a^2+b^2}[/tex3]
por fim: [tex3]BC = \frac {ab}{BC \cdot \frac{ ab}{a^2+b^2}} \implies BC = \sqrt{a^2+b^2}[/tex3]
[tex3]a^2 = BT \cdot \frac{ab}{\sqrt{BT \cdot TC}} \iff \frac ab = \sqrt{\frac{BT}{TC}} \iff BT = TC \cdot \frac{a^2}{b^2} [/tex3]
pronto: [tex3]BC = TC \frac{a^2+b^2}{b^2} \iff TC = BC \frac{b^2}{a^2+b^2} \implies BT = BC \frac{a^2}{a^2+b^2}[/tex3]
por fim: [tex3]BC = \frac {ab}{BC \cdot \frac{ ab}{a^2+b^2}} \implies BC = \sqrt{a^2+b^2}[/tex3]
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
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