Ensino FundamentalOrtocentro. Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Fundamental devem ser postados aqui (exceto problemas de Vestibulares).

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geobson
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Mai 2021 05 14:15

Ortocentro.

Mensagem não lida por geobson »

Na figura, H é o ortocentro do triângulo ABC, BM=MC e BC=8 [tex3]\sqrt{2}[/tex3] . Calcule PQ.
A)4
B)6
C)8 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
D)8 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]
E)8
Resposta

C
Anexos
Screenshot_2021-04-30-23-07-45-1~2.png
Screenshot_2021-04-30-23-07-45-1~2.png (60.42 KiB) Exibido 1286 vezes

Última edição: geobson (Sex 30 Abr, 2021 23:16). Total de 1 vez.



FelipeMartin
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Re: Ortocentro.

Mensagem não lida por FelipeMartin »

Repare que [tex3]CQ \parallel BH[/tex3] , pois seja [tex3]Q'[/tex3] o reflexo de [tex3]H[/tex3] em relação ao ponto [tex3]M[/tex3] , então [tex3]BHCQ'[/tex3] é paralelogramo (pois suas diagonais se cruzam no ponto médio de ambas, [tex3]M[/tex3] ), logo [tex3]\angle BQ'C = \angle BHC = 180^{\circ} - \angle A[/tex3] , logo [tex3]BACQ'[/tex3] é cíclico, logo [tex3]Q' \in (ABC)[/tex3] ; mas como [tex3]Q' = (ABC) \cap \overrightarrow{HM}[/tex3] , então [tex3]Q=Q'[/tex3] ; portanto [tex3]CHBQ[/tex3] é um paralelogramo.

Logo [tex3]\angle BCQ = \angle CBP = 90^{\circ} - \angle BCA = 90^{\circ} - \angle C[/tex3] , então o arco [tex3]QC[/tex3] é enxergado por um ângulo de [tex3]\angle A - (90^{\circ} - \angle C) = \angle A + \angle C - 90^{\circ} = 90^{\circ} - \angle B[/tex3]

O arco [tex3]PC[/tex3] é enxergado por [tex3]90^{\circ} - \angle C[/tex3] , logo o arco [tex3]PQ[/tex3] é enxergado por [tex3]90^{\circ} - \angle C + 90^{\circ} - \angle B = \angle A[/tex3] , logo [tex3]PQ = BC = 8\sqrt2[/tex3]

Última edição: FelipeMartin (Qua 05 Mai, 2021 19:03). Total de 2 vezes.


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Re: Ortocentro.

Mensagem não lida por geobson »

FelipeMartin, esse ângulo de 72° serve pra que mesmo?



FelipeMartin
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Re: Ortocentro.

Mensagem não lida por FelipeMartin »

geobson, para absolutamente nada. Bastava ele dizer que o ABC é acutângulo.


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Re: Ortocentro.

Mensagem não lida por geobson »

FelipeMartin, tem certos detalhes que só atrapalham , por exemplo esse daí , quem vai resolver até pensa que precisa saber algo tipo cosseno de 72°.e vai achar que necessariamente a solução está diretamente relacionada intrínsecamente a este ângulo .e isso talvez até o leve a desistir.
Última edição: geobson (Qua 05 Mai, 2021 19:21). Total de 2 vezes.



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petras
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Re: Ortocentro.

Mensagem não lida por petras »

geobson,

A partir do 72o, completando os Ângulos chegamos a congruência de PQ com BC.
(O desenho do enunciado como sempre totalmente fora de escala)
Anexos
erere.jpg
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FelipeMartin
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Re: Ortocentro.

Mensagem não lida por FelipeMartin »

petras, não precisa ser 72º, A não está na reta MQ necessariamente. Pode testar pra qualquer ângulo arbitrário menor que 90º. O triângulo também não precisa ser isósceles.
Última edição: FelipeMartin (Qua 05 Mai, 2021 21:10). Total de 1 vez.


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Re: Ortocentro.

Mensagem não lida por petras »

FelipeMartin,

Eu sei, apenas quis mostrar que utilizando apenas os ângulos, no caso foi dado o 72o, chega-se a solução, não tão elaborada como a sua. O A está na reta MQ foi consequência dos ângulos gerados a partir do Ângulo dado, assim como o aparecimento dos triângulos isósceles



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geobson
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Re: Ortocentro.

Mensagem não lida por geobson »

Resumo visual da solução.....
Anexos
IMG_20230325_102422_381.jpg
IMG_20230325_102422_381.jpg (49.8 KiB) Exibido 479 vezes




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