Ensino Fundamental ⇒ Semelhança de triângulos. Tópico resolvido

[geobson]

Na figura : EF=3, FG=2.
Calcule GH, sabendo que " T" é ponto tangencial.
A)1
B)2
C)3
D)4
E)2,5

Resposta

---

D

[Deleted User 25040]

primeiro note que PTFM é inscritível então vamos traçar MT e PF para ver se encontramos algo interessante.
chama <TMG = alfa e então < TPF = alfa.
traça TG olhando para soma dos ângulos internos <FTG = alfa, como T é ponto de tangencia <HTG = alfa ou seja TG é bissetriz de <FTH e PT = TF =a
pelo teorema da bissetriz interna [tex3]{a\over2}={y\over x}[/tex3]

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[tex3]{a\over2}={y\over x}[/tex3]

onde y = TH.
voltando a olhar para o quadrilátero vemos que <PMT = alfa mas se vc reparar como PTF é isósceles, e temos um angulo de 90º PMF é também isósceles. ou seja PM = 2r-2. usando o teorema da bissetriz interna no triangulo MPH
[tex3]{2r-2\over a}={2r+x\over y}[/tex3]

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[tex3]{2r-2\over a}={2r+x\over y}[/tex3]

[tex3]{a\over2(r-1)}={y\over 2r+x}[/tex3]

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[tex3]{a\over2(r-1)}={y\over 2r+x}[/tex3]

[tex3](r-1)x=2r+x[/tex3]

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[tex3](r-1)x=2r+x[/tex3]

mas por potencia de ponto [tex3]a^2=r^2-4[/tex3]

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[tex3]a^2=r^2-4[/tex3]

e [tex3]y^2=(2r+x)x[/tex3]

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[tex3]y^2=(2r+x)x[/tex3]

pegando aquela primeira relação e elevando ao quadrado e substituindo temos:
[tex3]{r^2-4\over4}={2r+x\over x}[/tex3]

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[tex3]{r^2-4\over4}={2r+x\over x}[/tex3]

[tex3]r^2-4=4r-4[/tex3]

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[tex3]r^2-4=4r-4[/tex3]

substitui depois de encontrar r = 4
[tex3]3x=8+x[/tex3]

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[tex3]3x=8+x[/tex3]

[tex3]x=4[/tex3]

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[tex3]x=4[/tex3]

[geobson]

null, questãozinha um tanto quanto complicada .
Obrigado.