Ensino Fundamental ⇒ Quadrado inscrito em setor circular. Tópico resolvido

[geobson]

Na figura, calcule o lado do quadrado inscrito no setor circular de raio igual a 1 e m < AOB= 30°.
A)[tex3]\sqrt{\frac{2 -2\sqrt{3}}{8}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{\frac{2 -2\sqrt{3}}{8}}[/tex3]

B)[tex3]\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{3}}[/tex3]

C)[tex3]\sqrt{\frac{5 - 2\sqrt{3}}{13}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{\frac{5 - 2\sqrt{3}}{13}}[/tex3]

D)[tex3]\frac{\sqrt{3 - \sqrt{2}}}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\sqrt{3 - \sqrt{2}}}{4}[/tex3]

E)[tex3]\frac{\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}}{5}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}}{5}[/tex3]

Resposta

---

C

[petras]

Segue a resolução solicitada, Como fiz no geogebra já deixei em formato de imagem

[geobson]

petras, obrigado, muito boa sua solução .Questão um tanto complexa.

[rodBR]

Uma outra maneira é traçar [tex3]FD[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]FD[/tex3]

e notar que [tex3]\angle FDO=180^{\circ}-(45^{\circ}+15^{\circ})\therefore\angle FDO=120^{\circ}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle FDO=180^{\circ}-(45^{\circ}+15^{\circ})\therefore\angle FDO=120^{\circ}[/tex3]

[tex3]OF=1[/tex3]

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[tex3]OF=1[/tex3]

e [tex3]FD=x\sqrt2[/tex3]

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[tex3]FD=x\sqrt2[/tex3]

, onde [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

é o lado do quadrado.

[tex3]OD[/tex3]

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[tex3]OD[/tex3]

dá para colocar em função de [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

pelo [tex3]∆ HDO[/tex3]

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[tex3]∆ HDO[/tex3]

: [tex3]\cos75^{\circ}=\frac{\frac x2}{OD}\therefore OD=\frac{2x}{\sqrt6-\sqrt2}[/tex3]

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[tex3]\cos75^{\circ}=\frac{\frac x2}{OD}\therefore OD=\frac{2x}{\sqrt6-\sqrt2}[/tex3]

Lei dos cossenos no [tex3]∆FDO[/tex3]

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[tex3]∆FDO[/tex3]

:
[tex3]1^2=(x\sqrt2)^2+\left(\frac{2x}{\sqrt6-\sqrt2}\right)^2-2\cdot x\sqrt2\cdot\frac{2x}{\sqrt6-\sqrt2}\cdot\cos120^{\circ}\\
2x^2+\frac{4x^2}{8-4\sqrt3}+\frac{2x^2\sqrt2}{\sqrt6-\sqrt2}=1\\
x^2\cdot\left(2+\frac{1}{2-\sqrt3}+\frac{2\sqrt2}{\sqrt6-\sqrt2}\right)=1\\
x^2\left(2+4+\sqrt3+\frac{4\sqrt3-4}{4}\right)=1\\
x^2\cdot\left(2\sqrt3+5\right)=1\\
x^2=\frac{1}{2\sqrt3+5}\\
\boxed{\boxed{x=\sqrt{\frac{5-2\sqrt3}{13}}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1^2=(x\sqrt2)^2+\left(\frac{2x}{\sqrt6-\sqrt2}\right)^2-2\cdot x\sqrt2\cdot\frac{2x}{\sqrt6-\sqrt2}\cdot\cos120^{\circ}\\
2x^2+\frac{4x^2}{8-4\sqrt3}+\frac{2x^2\sqrt2}{\sqrt6-\sqrt2}=1\\
x^2\cdot\left(2+\frac{1}{2-\sqrt3}+\frac{2\sqrt2}{\sqrt6-\sqrt2}\right)=1\\
x^2\left(2+4+\sqrt3+\frac{4\sqrt3-4}{4}\right)=1\\
x^2\cdot\left(2\sqrt3+5\right)=1\\
x^2=\frac{1}{2\sqrt3+5}\\
\boxed{\boxed{x=\sqrt{\frac{5-2\sqrt3}{13}}}}[/tex3]

Obs.: [tex3]H=OY\cap CD[/tex3] [tex3](OH\perp CD)[/tex3]




Se fosse [tex3]\angle AOB=60^{\circ}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle AOB=60^{\circ}[/tex3]

seria mais fácil.

[geobson]

rodBR, obrigado pela apresentação de uma outra solução.