Ensino FundamentalQuadrado inscrito em setor circular. Tópico resolvido

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geobson
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Abr 2021 13 13:05

Quadrado inscrito em setor circular.

Mensagem não lida por geobson »

Na figura, calcule o lado do quadrado inscrito no setor circular de raio igual a 1 e m < AOB= 30°.
A)[tex3]\sqrt{\frac{2 -2\sqrt{3}}{8}}[/tex3]
B)[tex3]\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{3}}[/tex3]
C)[tex3]\sqrt{\frac{5 - 2\sqrt{3}}{13}}[/tex3]
D)[tex3]\frac{\sqrt{3 - \sqrt{2}}}{4}[/tex3]
E)[tex3]\frac{\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}}{5}[/tex3]
Resposta

C
Anexos
20210411_202533-1.jpg
20210411_202533-1.jpg (33.29 KiB) Exibido 2963 vezes

Última edição: geobson (Seg 12 Abr, 2021 14:22). Total de 1 vez.



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petras
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Re: Quadrado inscrito em setor circular.

Mensagem não lida por petras »

Segue a resolução solicitada, Como fiz no geogebra já deixei em formato de imagem
Anexos
g12.jpg
g12.jpg (17.47 KiB) Exibido 2938 vezes
erere.jpg
erere.jpg (32.29 KiB) Exibido 2938 vezes




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geobson
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Abr 2021 13 18:32

Re: Quadrado inscrito em setor circular.

Mensagem não lida por geobson »

petras, obrigado, muito boa sua solução .Questão um tanto complexa.



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rodBR
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Abr 2021 13 20:20

Re: Quadrado inscrito em setor circular.

Mensagem não lida por rodBR »

Uma outra maneira é traçar [tex3]FD[/tex3] e notar que [tex3]\angle FDO=180^{\circ}-(45^{\circ}+15^{\circ})\therefore\angle FDO=120^{\circ}[/tex3]

[tex3]OF=1[/tex3] e [tex3]FD=x\sqrt2[/tex3] , onde [tex3]x[/tex3] é o lado do quadrado.

[tex3]OD[/tex3] dá para colocar em função de [tex3]x[/tex3] pelo [tex3]∆ HDO[/tex3] : [tex3]\cos75^{\circ}=\frac{\frac x2}{OD}\therefore OD=\frac{2x}{\sqrt6-\sqrt2}[/tex3]

Lei dos cossenos no [tex3]∆FDO[/tex3] :
[tex3]1^2=(x\sqrt2)^2+\left(\frac{2x}{\sqrt6-\sqrt2}\right)^2-2\cdot x\sqrt2\cdot\frac{2x}{\sqrt6-\sqrt2}\cdot\cos120^{\circ}\\
2x^2+\frac{4x^2}{8-4\sqrt3}+\frac{2x^2\sqrt2}{\sqrt6-\sqrt2}=1\\
x^2\cdot\left(2+\frac{1}{2-\sqrt3}+\frac{2\sqrt2}{\sqrt6-\sqrt2}\right)=1\\
x^2\left(2+4+\sqrt3+\frac{4\sqrt3-4}{4}\right)=1\\
x^2\cdot\left(2\sqrt3+5\right)=1\\
x^2=\frac{1}{2\sqrt3+5}\\
\boxed{\boxed{x=\sqrt{\frac{5-2\sqrt3}{13}}}}[/tex3]



Obs.: [tex3]H=OY\cap CD[/tex3] [tex3](OH\perp CD)[/tex3]




Se fosse [tex3]\angle AOB=60^{\circ}[/tex3] seria mais fácil.
Última edição: rodBR (Ter 13 Abr, 2021 20:29). Total de 1 vez.
Razão: acrescentei observação em negrito


"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".

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geobson
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Re: Quadrado inscrito em setor circular.

Mensagem não lida por geobson »

rodBR, obrigado pela apresentação de uma outra solução.




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