Ensino Fundamental ⇒ Determinar o valor do ângulo x

[Thadeu]

7efa613b-3f49-41a0-b682-c2a0241fe24f.jpg (16.1 KiB) Exibido 8750 vezes

[NathanMoreira]

Thadeu , aquele ângulo junto do 100 é de 20 graus?

[Thadeu]

Sim, os ângulos são 10º, 10º, 20º e 100º...

[NathanMoreira]

Minha ideia, até agora, é encontrar aquele ângulo faltando em função de [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

, se não me engano fica como [tex3]40-x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]40-x[/tex3]

. Daí aplicar o Teorema de Ceva Trigonométrico, ficando:

[tex3]\sen(20).\sen(10).\sen(40-x)=\sen(100).\sen(10).\sen(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen(20).\sen(10).\sen(40-x)=\sen(100).\sen(10).\sen(x)[/tex3]

A partir daqui ainda estou tentando fazer algumas transformações trigonométricas para encontrar o resultado.

[Thadeu]

Essa questão não envolve essas propriedades trigonométricas (9º ano)... Ela deve ser resolvida apenas com regras de geometria plana...

[careca]

Estou pensando em uma solução. Vou deixar minha contribuição para que os outros usuários possam continuar a resolver:

Tome o ponto de intersecção da figura (interno ao triângulo de P). Prolongando CP, encontrará AB em D.

Note que ΔACD é isósceles AD = CD e ΔCDB é isósceles CD = BC ==> AD = CD = BC

Daqui estou tentando achar alguma relação

[Ittalo25]

ms.png (237.17 KiB) Exibido 8684 vezes

- Obviamente <B=40°, separando o ângulo de 100° em ângulos de 20°, 40° e 40° conforme a imagem.
- CD=BD porque CDB tem 2 ângulos de 40°
- P é incentro de AEC, já que AP e CP são bissetrizes, disso sai que <AEP=60°
- Sendo assim PCDE é cíclico, ou seja: <PEA=<PEC=<CDP=60°
- Como CDP tem 2 ângulos de 60°, então é equilátero, PC=PD=CD
- Novamente porque PCDE é cíclico, <PDE=<PCE=20°
- Pela teorema do ângulo externo: <DPB+DBP=20°
- Mas DP=DB, sendo assim: <DBP= x = 10°

[NigrumCibum]

Primeira Solução

20210405_225725.jpg (44.89 KiB) Exibido 8678 vezes

Seja P o circuncentro do triângulo ABC, assim: [tex3]\angle PAC=\angle PCA=50°[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle PAC=\angle PCA=50°[/tex3]

, [tex3]\angle PBC=\angle PCB=70°.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle PBC=\angle PCB=70°.[/tex3]

Seja Q o circuncentro do triângulo PAC, assim: [tex3]\angle QAC=\angle QCA=10°[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle QAC=\angle QCA=10°[/tex3]

, [tex3]\angle QAP=\angle QPA=40°[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle QAP=\angle QPA=40°[/tex3]

, [tex3]\angle QPC=\angle QCP=40° [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle QPC=\angle QCP=40° [/tex3]

, então o ponto Q pertence ao lado AD, deste modo [tex3]\angle DCQ=20°-10°=10° [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle DCQ=20°-10°=10° [/tex3]

, [tex3]\angle CDQ=180°-20°-10°=150° [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle CDQ=180°-20°-10°=150° [/tex3]

, [tex3]\angle DQC=180°-150°-10°=20°. [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle DQC=180°-150°-10°=20°. [/tex3]

Seja R o circuncentro do triângulo DCQ, então: [tex3]\angle RCQ=\angle RQC=60°[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle RCQ=\angle RQC=60°[/tex3]

, [tex3]\angle RQD=\angle RDQ=80° [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle RQD=\angle RDQ=80° [/tex3]

, portanto RC=RQ=RD=QC=QA=QP. Como [tex3]\angle PQC=180°-2×40°=100°⇒\angle DQP=100°-20°=80°[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle PQC=180°-2×40°=100°⇒\angle DQP=100°-20°=80°[/tex3]

, então, pelo caso LAL de congruência [tex3]\triangle RQD≡\triangle PQD [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\triangle RQD≡\triangle PQD [/tex3]

, o que implica que PD=QD. Portanto [tex3]\angle QAP=50°-10°=40°=\angle QPA [/tex3]

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[tex3]\angle QAP=50°-10°=40°=\angle QPA [/tex3]

e [tex3]\angle DPA=\angle DPB=60°[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle DPA=\angle DPB=60°[/tex3]

, assim, pelo caso LAL de congruência [tex3]\triangle DPA≡\triangle DPB[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\triangle DPA≡\triangle DPB[/tex3]

, o que implica que DA=DB e, consequentemente, que [tex3]\angle DAB=\angle DBA=10°. [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle DAB=\angle DBA=10°. [/tex3]

[NigrumCibum]

Segunda Solução

20210406_085431.jpg (37.5 KiB) Exibido 8657 vezes

Seja P o circuncentro do triângulo ACD, então: [tex3]\angle PAC=\angle PCA=60°[/tex3]

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[tex3]\angle PAC=\angle PCA=60°[/tex3]

, [tex3]\angle PDC=\angle PCD=80°[/tex3]

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[tex3]\angle PDC=\angle PCD=80°[/tex3]

, [tex3]\angle PAD=\angle PDA=70° [/tex3]

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[tex3]\angle PAD=\angle PDA=70° [/tex3]

, disso, concluímos, que PA=PC=PD=AC e que [tex3]\angle PCB=80°+100°=180°[/tex3]

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[tex3]\angle PCB=80°+100°=180°[/tex3]

, logo, P, C e B são colineares.
Seja Q o circuncentro do triângulo PAB, assim: [tex3]\angle QPB=\angle QBP=10° [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle QPB=\angle QBP=10° [/tex3]

, [tex3]\angle QAP=\angle QPA=50° [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle QAP=\angle QPA=50° [/tex3]

, [tex3]\angle QAB=\angle QBA=30°[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle QAB=\angle QBA=30°[/tex3]

, dessa forma, o ponto Q está no interior do triângulo PAC. Agora observe que [tex3]\angle QPD=20°-10°=\angle QPC[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle QPD=20°-10°=\angle QPC[/tex3]

e [tex3]\angle QAC=60°-50°=10°[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle QAC=60°-50°=10°[/tex3]

, então, pelo caso LAL de congruência [tex3]\triangle PQD≡\triangle PQC ≡\triangle AQC[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\triangle PQD≡\triangle PQC ≡\triangle AQC[/tex3]

; em consequência disso: [tex3]\angle QCP=\angle QCA=\angle QDP=30°⇒\angle QCD=\angle QDC=80°-30°=50°.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle QCP=\angle QCA=\angle QDP=30°⇒\angle QCD=\angle QDC=80°-30°=50°.[/tex3]

Note que [tex3]\angle PQC=180°-30°-10°=140° [/tex3]

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[tex3]\angle PQC=180°-30°-10°=140° [/tex3]

, [tex3]\angle PQB=180°-10°×2=160°[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle PQB=180°-10°×2=160°[/tex3]

então [tex3]\angle CQB=160°-140°=20° [/tex3]

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[tex3]\angle CQB=160°-140°=20° [/tex3]

, deste modo [tex3]\angle BQD=80°-20°=60° [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle BQD=80°-20°=60° [/tex3]

e como [tex3]\angle AQB=180°-30°×2=120°[/tex3]

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[tex3]\angle AQB=180°-30°×2=120°[/tex3]

, tem-se [tex3]\angle DQA=120°-60°=60°[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle DQA=120°-60°=60°[/tex3]

, portanto, pelo caso LAL de congruência [tex3]\triangle QAD≡\triangle QBD[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\triangle QAD≡\triangle QBD[/tex3]

e, consequentemente, [tex3]DA=DB⇒\angle DAB=\angle DBA=10°.[/tex3]

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[tex3]DA=DB⇒\angle DAB=\angle DBA=10°.[/tex3]

[rodBR]

Minha ideia, até agora, é encontrar aquele ângulo faltando em função de [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

, se não me engano fica como [tex3]40-x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]40-x[/tex3]

. Daí aplicar o Teorema de Ceva Trigonométrico, ficando:

[tex3]\sen(20).\sen(10).\sen(40-x)=\sen(100).\sen(10).\sen(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen(20).\sen(10).\sen(40-x)=\sen(100).\sen(10).\sen(x)[/tex3]

A partir daqui ainda estou tentando fazer algumas transformações trigonométricas para encontrar o resultado.

Resposta

---

[tex3]\sen(20^{\circ})\cdot\sen(10^{\circ})\cdot\sen(40^{\circ}-x)=\sen(100^{\circ})\cdot\sen(10^{\circ})\cdot\sen(x)\\
\sen(20^{\circ})\cdot\sen(40^{\circ}-x)=\sen(100^{\circ})\cdot\sen(x) \ \ Usando \ que \ \sen(100^{\circ})=\sen(80^{\circ})=\cos(10^{\circ}) \ e \ \sen(20^{\circ})=2\sen(10^{\circ})\cdot\cos(10^{\circ}):\\
2\sen(10^{\circ})\cdot\cos(10^{\circ})\cdot\sen(40^{\circ}-x)=\cos(10^{\circ})\cdot\sen(x)\\
\sen(10^{\circ})\cdot\sen(40^{\circ}-x)=\frac{1}{2}\cdot\sen(x) \ \\
\sen(10^{\circ})\cdot\sen(40^{\circ}-x)=\sen(30^{\circ})\cdot\sen(x)\\
\frac{\sen(40^{\circ}-x)}{\sen(x)}=\frac{\sen(30^{\circ})}{\sen(10^{\circ})} \ \ Pelo \ Truque \ das \ Cotangentes:\\
\boxed{\boxed{x=10^{\circ}}}\\
\\truque \ das \ Cotangentes: [/tex3]

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[tex3]\sen(20^{\circ})\cdot\sen(10^{\circ})\cdot\sen(40^{\circ}-x)=\sen(100^{\circ})\cdot\sen(10^{\circ})\cdot\sen(x)\\
\sen(20^{\circ})\cdot\sen(40^{\circ}-x)=\sen(100^{\circ})\cdot\sen(x) \ \ Usando \ que \ \sen(100^{\circ})=\sen(80^{\circ})=\cos(10^{\circ}) \ e \ \sen(20^{\circ})=2\sen(10^{\circ})\cdot\cos(10^{\circ}):\\
2\sen(10^{\circ})\cdot\cos(10^{\circ})\cdot\sen(40^{\circ}-x)=\cos(10^{\circ})\cdot\sen(x)\\
\sen(10^{\circ})\cdot\sen(40^{\circ}-x)=\frac{1}{2}\cdot\sen(x) \ \\
\sen(10^{\circ})\cdot\sen(40^{\circ}-x)=\sen(30^{\circ})\cdot\sen(x)\\
\frac{\sen(40^{\circ}-x)}{\sen(x)}=\frac{\sen(30^{\circ})}{\sen(10^{\circ})} \ \ Pelo \ Truque \ das \ Cotangentes:\\
\boxed{\boxed{x=10^{\circ}}}\\
\\truque \ das \ Cotangentes: [/tex3]

https://www.youtube.com/watch?v=im32iB42Sek