Ensino Fundamental

Mensagem não lidapor **Thadeu** » 05 Abr 2021, 14:32 · Mensagem não lida por **Thadeu** » 05 Abr 2021, 14:32

: 7efa613b-3f49-41a0-b682-c2a0241fe24f.jpg (16.1 KiB) Exibido 8771 vezes

Thadeu , aquele ângulo junto do 100 é de 20 graus?

Mensagem não lidapor **Thadeu** » 05 Abr 2021, 15:02 · Mensagem não lida por **Thadeu** » 05 Abr 2021, 15:02

Sim, os ângulos são 10º, 10º, 20º e 100º...

Minha ideia, até agora, é encontrar aquele ângulo faltando em função de [tex3]x[/tex3] , se não me engano fica como [tex3]40-x[/tex3] . Daí aplicar o Teorema de Ceva Trigonométrico, ficando:

[tex3]\sen(20).\sen(10).\sen(40-x)=\sen(100).\sen(10).\sen(x)[/tex3]

A partir daqui ainda estou tentando fazer algumas transformações trigonométricas para encontrar o resultado.

Mensagem não lidapor **Thadeu** » 05 Abr 2021, 16:29 · Mensagem não lida por **Thadeu** » 05 Abr 2021, 16:29

Essa questão não envolve essas propriedades trigonométricas (9º ano)... Ela deve ser resolvida apenas com regras de geometria plana...

Mensagem não lidapor **careca** » 05 Abr 2021, 19:08 · Mensagem não lida por **careca** » 05 Abr 2021, 19:08

Estou pensando em uma solução. Vou deixar minha contribuição para que os outros usuários possam continuar a resolver:

Tome o ponto de intersecção da figura (interno ao triângulo de P). Prolongando CP, encontrará AB em D.

Note que ΔACD é isósceles AD = CD e ΔCDB é isósceles CD = BC ==> AD = CD = BC

Daqui estou tentando achar alguma relação

Mensagem não lidapor **Ittalo25** » 05 Abr 2021, 23:08 · Mensagem não lida por **Ittalo25** » 05 Abr 2021, 23:08

: ms.png (237.17 KiB) Exibido 8705 vezes

- Obviamente <B=40°, separando o ângulo de 100° em ângulos de 20°, 40° e 40° conforme a imagem.
- CD=BD porque CDB tem 2 ângulos de 40°
- P é incentro de AEC, já que AP e CP são bissetrizes, disso sai que <AEP=60°
- Sendo assim PCDE é cíclico, ou seja: <PEA=<PEC=<CDP=60°
- Como CDP tem 2 ângulos de 60°, então é equilátero, PC=PD=CD
- Novamente porque PCDE é cíclico, <PDE=<PCE=20°
- Pela teorema do ângulo externo: <DPB+DBP=20°
- Mas DP=DB, sendo assim: <DBP= x = 10°

Mensagem não lidapor **NigrumCibum** » 05 Abr 2021, 23:25

Primeira Solução

: 20210405_225725.jpg (44.89 KiB) Exibido 8699 vezes

Seja P o circuncentro do triângulo ABC, assim: [tex3]\angle PAC=\angle PCA=50°[/tex3] , [tex3]\angle PBC=\angle PCB=70°.[/tex3]
Seja Q o circuncentro do triângulo PAC, assim: [tex3]\angle QAC=\angle QCA=10°[/tex3] , [tex3]\angle QAP=\angle QPA=40°[/tex3] , [tex3]\angle QPC=\angle QCP=40° [/tex3] , então o ponto Q pertence ao lado AD, deste modo [tex3]\angle DCQ=20°-10°=10° [/tex3] , [tex3]\angle CDQ=180°-20°-10°=150° [/tex3] , [tex3]\angle DQC=180°-150°-10°=20°. [/tex3]
Seja R o circuncentro do triângulo DCQ, então: [tex3]\angle RCQ=\angle RQC=60°[/tex3] , [tex3]\angle RQD=\angle RDQ=80° [/tex3] , portanto RC=RQ=RD=QC=QA=QP. Como [tex3]\angle PQC=180°-2×40°=100°⇒\angle DQP=100°-20°=80°[/tex3] , então, pelo caso LAL de congruência [tex3]\triangle RQD≡\triangle PQD [/tex3] , o que implica que PD=QD. Portanto [tex3]\angle QAP=50°-10°=40°=\angle QPA [/tex3] e [tex3]\angle DPA=\angle DPB=60°[/tex3] , assim, pelo caso LAL de congruência [tex3]\triangle DPA≡\triangle DPB[/tex3] , o que implica que DA=DB e, consequentemente, que [tex3]\angle DAB=\angle DBA=10°. [/tex3]

Mensagem não lidapor **NigrumCibum** » 06 Abr 2021, 09:23

Segunda Solução

: 20210406_085431.jpg (37.5 KiB) Exibido 8678 vezes

Seja P o circuncentro do triângulo ACD, então: [tex3]\angle PAC=\angle PCA=60°[/tex3] , [tex3]\angle PDC=\angle PCD=80°[/tex3] , [tex3]\angle PAD=\angle PDA=70° [/tex3] , disso, concluímos, que PA=PC=PD=AC e que [tex3]\angle PCB=80°+100°=180°[/tex3] , logo, P, C e B são colineares.
Seja Q o circuncentro do triângulo PAB, assim: [tex3]\angle QPB=\angle QBP=10° [/tex3] , [tex3]\angle QAP=\angle QPA=50° [/tex3] , [tex3]\angle QAB=\angle QBA=30°[/tex3] , dessa forma, o ponto Q está no interior do triângulo PAC. Agora observe que [tex3]\angle QPD=20°-10°=\angle QPC[/tex3] e [tex3]\angle QAC=60°-50°=10°[/tex3] , então, pelo caso LAL de congruência [tex3]\triangle PQD≡\triangle PQC ≡\triangle AQC[/tex3] ; em consequência disso: [tex3]\angle QCP=\angle QCA=\angle QDP=30°⇒\angle QCD=\angle QDC=80°-30°=50°.[/tex3]
Note que [tex3]\angle PQC=180°-30°-10°=140° [/tex3] , [tex3]\angle PQB=180°-10°×2=160°[/tex3] então [tex3]\angle CQB=160°-140°=20° [/tex3] , deste modo [tex3]\angle BQD=80°-20°=60° [/tex3] e como [tex3]\angle AQB=180°-30°×2=120°[/tex3] , tem-se [tex3]\angle DQA=120°-60°=60°[/tex3] , portanto, pelo caso LAL de congruência [tex3]\triangle QAD≡\triangle QBD[/tex3] e, consequentemente, [tex3]DA=DB⇒\angle DAB=\angle DBA=10°.[/tex3]

Mensagem não lidapor **rodBR** » 06 Abr 2021, 22:38 · Mensagem não lida por **rodBR** » 06 Abr 2021, 22:38

NathanMoreira escreveu: ↑05 Abr 2021, 15:06 Minha ideia, até agora, é encontrar aquele ângulo faltando em função de [tex3]x[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]x[/tex3]
, se não me engano fica como [tex3]40-x[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]40-x[/tex3]
. Daí aplicar o Teorema de Ceva Trigonométrico, ficando:

[tex3]\sen(20).\sen(10).\sen(40-x)=\sen(100).\sen(10).\sen(x)[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\sen(20).\sen(10).\sen(40-x)=\sen(100).\sen(10).\sen(x)[/tex3]

A partir daqui ainda estou tentando fazer algumas transformações trigonométricas para encontrar o resultado.

Resposta

[tex3]\sen(20^{\circ})\cdot\sen(10^{\circ})\cdot\sen(40^{\circ}-x)=\sen(100^{\circ})\cdot\sen(10^{\circ})\cdot\sen(x)\\
\sen(20^{\circ})\cdot\sen(40^{\circ}-x)=\sen(100^{\circ})\cdot\sen(x) \ \ Usando \ que \ \sen(100^{\circ})=\sen(80^{\circ})=\cos(10^{\circ}) \ e \ \sen(20^{\circ})=2\sen(10^{\circ})\cdot\cos(10^{\circ}):\\
2\sen(10^{\circ})\cdot\cos(10^{\circ})\cdot\sen(40^{\circ}-x)=\cos(10^{\circ})\cdot\sen(x)\\
\sen(10^{\circ})\cdot\sen(40^{\circ}-x)=\frac{1}{2}\cdot\sen(x) \ \\
\sen(10^{\circ})\cdot\sen(40^{\circ}-x)=\sen(30^{\circ})\cdot\sen(x)\\
\frac{\sen(40^{\circ}-x)}{\sen(x)}=\frac{\sen(30^{\circ})}{\sen(10^{\circ})} \ \ Pelo \ Truque \ das \ Cotangentes:\\
\boxed{\boxed{x=10^{\circ}}}\\
\\truque \ das \ Cotangentes: [/tex3] https://www.youtube.com/watch?v=im32iB42Sek

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