Ensino Fundamental ⇒ ângulo x em função de [tex3]\alpha [/tex3] Tópico resolvido

[geobson]

Volta sousóeu !!!!..............!!!

[geobson]

Apos nomear alguns pontos, ( conforme meu desenho) concluí o seguinte .
1)sabemos que A, F e D estã alinhados , pois <(FDC) é reto .

2)sabe- se ( isto não é nenhum pouco trivial, deixo claro) que o quadrilátero BERD é completo , isso implica dizer que suas diagonais. ED e BF de cruzam em um ponto harmônico , G , no caso.

3)sabe-se ( embora não seja algo comum) que G e R são conjugados harmônicos do segmento AF , portanto:
[tex3]\frac{GB}{GF} = \frac{RB}{RF}[/tex3]

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[tex3]\frac{GB}{GF} = \frac{RB}{RF}[/tex3]

Assim , quando se tem essa razão harmônica , é por que FD e DB são bissetrizes interna e externa, respectivamente em relação ao triângulo GDR, logo <(FDR)=[tex3]\alpha [/tex3]

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[tex3]\alpha [/tex3]

4) analogamente , em relação ao triângulo REG concluiremos que EF será bissetriz de <(REG).

5)pelo teorema da bissetriz interna aplicado aos triângulos GRD e REG, respectivamente , obteremos o seguinte resultado :

[tex3]\frac{GD}{GF} = \frac{DR}{FR}[/tex3]

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[tex3]\frac{GD}{GF} = \frac{DR}{FR}[/tex3]

e [tex3]\frac{EG}{GF}[/tex3]

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[tex3]\frac{EG}{GF}[/tex3]

= [tex3]\frac{ER}{FR}[/tex3]

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[tex3]\frac{ER}{FR}[/tex3]

.
Diante desse resultado , infere- se que EG=GD e DR=ER e consequentemente [tex3]\alpha = \theta [/tex3]

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[tex3]\alpha = \theta [/tex3]

.já que os triângulos DGR e EGR são congruentes.

6)e finalmente: x= 90 - ( 90 - 3 [tex3]\alpha [/tex3]

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[tex3]\alpha [/tex3]

)= 3 [tex3]\alpha [/tex3]

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[tex3]\alpha [/tex3]

Portanto , erro de gabarito

Por favor, apontem meus erros.

[geobson]

petras, meu amigo muito obrigado pelo apoio ofercido atavés de seus desenhos.
Nåo querendo abusar de sus disponibilidade , mad seria muito se você pudesse realizar mais um pedido meu de contruir esse desenho , pra vermos , constatarmos de fato se meu raciocínio está certo .

[FelipeMartin]

2)sabe- se ( isto não é nenhum pouco trivial, deixo claro) que o quadrilátero BERD é completo , isso implica dizer que suas diagonais. ED e BF de cruzam em um ponto harmônico , G , no caso.

o que isso significa?

[geobson]

2)sabe- se ( isto não é nenhum pouco trivial, deixo claro) que o quadrilátero BERD é completo , isso implica dizer que suas diagonais. ED e BF de cruzam em um ponto harmônico , G , no caso.

o que isso significa?

É uma terminologia adotada por esse livro peruano : Geometría , una vision de la planimetria da lumbreras.

[geobson]

Desconsiderem minha " solução " sem lógica , viagem louca essa que fiz .....he he

[geobson]

Esse desenho deve estar errado : aquela minha resolução por razão harmônica estaria correta e encontrarîamos o gabarito x= 2 [tex3]\alpha [/tex3]

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[tex3]\alpha [/tex3]

, se estivesse na seguinte configuração( conforme desenho), aliás chegariamos também ao mesmo gabarito sem a necessidade daquele segundo [tex3]\alpha [/tex3]

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[tex3]\alpha [/tex3]

( <(RGD)) ainda assim daria certo , usando conhecimento sobre razões harmônicas e também sobre essa dedução transcrita abaixo:

geobson, Imagine que você tem [tex3]4[/tex3]

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[tex3]4[/tex3]

pontos colineares nessa ordem: [tex3]ABCD[/tex3]

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[tex3]ABCD[/tex3]

, tais que [tex3]\mathcal H (A,C;B,D)[/tex3]

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[tex3]\mathcal H (A,C;B,D)[/tex3]

. Seja [tex3]O[/tex3]

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[tex3]O[/tex3]

um ponto qualquer fora da reta [tex3]ABCD[/tex3]

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[tex3]ABCD[/tex3]

, tal que [tex3]\angle BOD = 90^{\circ}[/tex3]

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[tex3]\angle BOD = 90^{\circ}[/tex3]

, então [tex3]OB[/tex3]

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[tex3]OB[/tex3]

é bissetriz interna de [tex3]\angle AOC[/tex3]

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[tex3]\angle AOC[/tex3]

:

Seja [tex3]OA'[/tex3]

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[tex3]OA'[/tex3]

a reta que é reflexo de [tex3]OC[/tex3]

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[tex3]OC[/tex3]

em relação a [tex3]OB[/tex3]

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[tex3]OB[/tex3]

, de forma que [tex3]A'[/tex3]

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[tex3]A'[/tex3]

esteja na reta [tex3]ABCD[/tex3]

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[tex3]ABCD[/tex3]

. Por construção, a reta [tex3]OB[/tex3]

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[tex3]OB[/tex3]

é bissetriz interna de [tex3]\angle COA'[/tex3]

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[tex3]\angle COA'[/tex3]

e, como [tex3]\angle BOD = 90^{\circ}[/tex3]

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[tex3]\angle BOD = 90^{\circ}[/tex3]

, então [tex3]D[/tex3]

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[tex3]D[/tex3]

é bissetriz externa desse triângulo. Logo [tex3]\mathcal H (A',C;B,D)[/tex3]

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[tex3]\mathcal H (A',C;B,D)[/tex3]

, mas isso implica que [tex3]A'=A[/tex3]

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[tex3]A'=A[/tex3]

. Então, necessariamente [tex3]OB[/tex3]

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[tex3]OB[/tex3]

é bissetriz interna. No meu livro tem essa prova.

[geobson]

jvmago, fite seu olhar nessa embaraçosa questão , você acha possível a solução?

[geobson]

jvmago, Depois , meu amigo, quando puder dê uma olhada perspicaz neste desenho esdrúxulo .por favor.

[jvmago]

Preciso só de mais uma informação, guenta aí