Ensino Fundamentaldesigualdades

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golondrina
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Fev 2021 20 17:48

desigualdades

Mensagem não lida por golondrina »

sejam a e b inteiros positivos. Prove que
|a[tex3]\sqrt{2}[/tex3] - b|[tex3]\geq [/tex3] [tex3]\left(\frac{1}{2(a+b)}\right)[/tex3]




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CarlosBruno
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Fev 2021 23 09:30

Re: desigualdades

Mensagem não lida por CarlosBruno »

[tex3]|a \sqrt{2} - b | \geq \frac{1}{2(a+b)} \implies a \sqrt{2} - b \geq \frac{1}{2(a+b)}[/tex3] ou [tex3]a \sqrt{2} - b \leq - \frac{1}{2(a+b)}[/tex3]

Portanto se uma for verdade (desigualdade) a outra não precisa necessariamente ser, assim irei expandir apenas uma.

[tex3]a \sqrt{2} - b \leq - \frac{1}{2(a+b)} \implies b- a \sqrt{2} \geq \frac{1}{2(a+b)} \implies 2ab+2b^2-2a^2\sqrt{2}-2ab\sqrt{2} \geq 1 \implies a^2 ( -2\sqrt{2})+a(2b-2b\sqrt{2})+(2b^2-1) \geq 0[/tex3]

Aqui eu tenho que provar que o [tex3]Yv[/tex3] , apresenta valor maior ou igual a 0, então vou desenvolver o determinante.

[tex3]a^2 ( -2\sqrt{2})+a(2b-2b\sqrt{2})+(2b^2-1) \implies \Delta = [(2b)(1-\sqrt{2})]^2 - 4 (-2\sqrt{2})(2b^2-1)=12b^2-8b^2\sqrt{2}+16b^2\sqrt{2}-8\sqrt{2} = b^2 ( 8\sqrt{2} +12) - 8\sqrt{2}[/tex3]

Agora analise que [tex3]b^2 > 0 \ \ \forall b \in \mathbb{R}[/tex3] portanto [tex3]b^2 ( 8\sqrt{2} +12) - 8\sqrt{2} > 0 \therefore \ Y_v = \frac{-\Delta}{4a_0}=\frac{-\Delta}{-8\sqrt{2}}=\frac{\Delta}{8\sqrt{2}}[/tex3]

Como delta é maior que 0 então seu Yv será também positivo, pela regra dos sinais da divisão. Provando então essa desigualdade.




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