Ensino Fundamental ⇒ Triângulos retângulos, semicircunferências , incentro e cálculo de áreas. Tópico resolvido

[geobson]

Sendo " I" o incentro do triângulo ABC , calcule o valor " x" , sabendo que as regiões sombreadas são equivalentes.( m ângulo BCA=x).

Resposta

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37°

[jvmago]

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[jvmago]

Essa questão é clássica e por acaso está ligado aquele tópico da área o ângulo é 37° mas vou me conter ><

Para resolver o Problema basta um pouco de trigonometria

Pelo enunciado, a área da coroa é igual a área do setor.

Nota-se que as duas áreas são proporcionais a 135π/360 portanto na igualdade podemos descarta-la.

Usando aa fórmulas da coroa, setor e excluindo a proporção teremos

a²=(a+b)²-a² onde a é o raio menor e (a+b) o raio menor

Equacionando e ÁLGEBRANDO chegamos em

b=a(-1+-√2)

Para finalizar, aplicando a lei dos seno no triângulo obstuso

Temos que

[tex3]\frac{Sen(45-\frac{x}{2})}{Sen(\frac{x}{2})}=\frac{a+b}a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{Sen(45-\frac{x}{2})}{Sen(\frac{x}{2})}=\frac{a+b}a[/tex3]

Abrindo na soma de arcos e simplificando o lado direito temos


[tex3]\frac{\frac{√2}{2}(cos(\frac{x}{2})-Sen(\frac{x}{2}))}{Sen(\frac{x}{2})}=1-1+-√2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\frac{√2}{2}(cos(\frac{x}{2})-Sen(\frac{x}{2}))}{Sen(\frac{x}{2})}=1-1+-√2[/tex3]

OLHA QUE LINDINHA!

SIMPLIFICANDO


[tex3]cos(\frac{x}{2})+Sen(\frac{x}{2})=+-2sen(\frac{x}{2})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cos(\frac{x}{2})+Sen(\frac{x}{2})=+-2sen(\frac{x}{2})[/tex3]

Como x/2 é agudo então não convém o caso negativo e daí temos

[tex3]cos(\frac{x}{2})=3sen(\frac{x}{2})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cos(\frac{x}{2})=3sen(\frac{x}{2})[/tex3]

daí fica facinho

Tg(x/2) =1/3

Pela proporção dia triângulos tetângulos,
x/2=37/2
x=37

PIMBADA

[geobson]

Sabe de tudo mesmo ! He he
Obrigado !