Ensino FundamentalQuadrado. Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Fundamental devem ser postados aqui (exceto problemas de Vestibulares).

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geobson
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Quadrado.

Mensagem não lida por geobson »

Calcular a relação de áreas sombreadas . se ABCD é um quadrado.
Resposta

3+ 2[tex3]\sqrt{2}[/tex3]
Anexos
20201102_085935.jpg
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Jvrextrue13
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Re: Quadrado.

Mensagem não lida por Jvrextrue13 »

Nomeando alguns fatores:
Lado do quadrado [tex3]"l"[/tex3]
Raio da circunferência menor [tex3]"r"[/tex3]
Ponto de tangência da circunferência menor com a diagonal do AC do quadrado [tex3]"P"[/tex3]
Centro da circunferência menor: [tex3]"O"[/tex3]
Área sombreada menor : [tex3]S_1[/tex3]
Área sombreada maior : [tex3]S_2[/tex3]

Por propriedades de tangência, o vértice C do quadrado está a uma igual distância do vértice D e do ponto P. Logo:
[tex3]CP = l\\AP=l\sqrt{2}-l=l(\sqrt{2}-1)[/tex3]
Ligando o centro da circunferência menor com o ponto de tangencia desta com a diagonal do quadrado, temos um triângulo retângulo isósceles [tex3]\Delta APO[/tex3] de onde podemos tirar a seguinte relação:
[tex3]r=l(\sqrt{2}-1)\\r^2=l^2(3-2\sqrt{2})[/tex3]

Cálculo de [tex3]S_1[/tex3]
[tex3]S_1[/tex3] vai ser dado pela área do triângulo retângulo isósceles menos a área do setor circular de [tex3]45º[/tex3] (ângulo do triângulo isósceles). Logo, temos:
[tex3]\boxed{S_1=\left(\frac{{r²}}{2}\right)-\left(\frac{\pi r²}{8}\right)}[/tex3]

Cálculo de [tex3]S_2[/tex3]
[tex3]S_2[/tex3] vai ser dado pela área do triângulo [tex3]\Delta CPD[/tex3] + a área do triângulo [tex3]\Delta OPD[/tex3] - a área do setor circular de [tex3]135º[/tex3] (suplementar do de 45º). Logo:

[tex3]\boxed{S_2=\left(\frac{l^2sen45º}{2}\right)+\left(\frac{r^2sen135º}{2}\right)-\left(\frac{3\pi r²}{8}\right)}[/tex3]

Fazendo [tex3]\left(\frac{S_2}{S_1}\right)[/tex3] , e simplificando o que conseguirmos, chegamos em algo diferente do gabarito que você deu, se souber o que eu errei por favor me responde ai em baixo :)



Ensinar/ajudar é uma das melhores formas de fixar o que já foi estudado :D

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geobson
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Re: Quadrado.

Mensagem não lida por geobson »

Jvrextrue13, conferi agora no livro e realmente o gabarito é esse mesmo.
na hora de dividir as áreas você deixou todas as expressões em função de uma letra apenas , tipo todas as áreas em função de l (do lado do quadrado )?
calculou o valor do raio em função de l ?
Última edição: geobson (Ter 01 Dez, 2020 14:05). Total de 1 vez.



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Jvrextrue13
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Re: Quadrado.

Mensagem não lida por Jvrextrue13 »

geobson escreveu:
Ter 01 Dez, 2020 13:58
Jvrextrue13, conferi agora no livro e realmente o gabarito é esse mesmo.
na hora de dividir as áreas você deixou todas as expressões em função de uma letra apenas , tipo todas as áreas em função de l (do lado do quadrado )?
calculou o valor do raio em função de l ?
Sim, eu fiz a razão entre as áreas e deixei tudo em função de r² ( com auxílio da primeira equação q achei [tex3]r=l(\sqrt{2}-1)[/tex3] ) ai deu pra cancelar e ficou puramente numérica. O problema é q ainda aparece o "[tex3]\pi [/tex3] " kkkkkkkkk e tbm curiosamente aparece [tex3](3+2\sqrt{2})[/tex3] tbm. Daqui a pouco eu volto e reviso minhas contas, pra ver algum possível erro


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Re: Quadrado.

Mensagem não lida por geobson »

NigrumCibum, a que resultado você chegou ? posso verificar as outras alternativas pode ser divergência de gabarito.



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Re: Quadrado.

Mensagem não lida por geobson »

Pelo que entendi, a questão pede a relação entre as áreas e não a razão entre elas.



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NigrumCibum
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Re: Quadrado.

Mensagem não lida por NigrumCibum »

geobson escreveu:
Sex 15 Jan, 2021 22:37
Pelo que entendi, a questão pede a relação entre as áreas e não a razão entre elas.
A relação é exatamente isso. Acho que este gabarito está quebrado. Vou fazer aqui...
Última edição: NigrumCibum (Sex 15 Jan, 2021 22:46). Total de 1 vez.


Soleil de minuit.

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NigrumCibum
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Re: Quadrado.

Mensagem não lida por NigrumCibum »

O gabarito está errado e a resposta do cara acima correta
Última edição: NigrumCibum (Sáb 16 Jan, 2021 09:00). Total de 1 vez.


Soleil de minuit.

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Re: Quadrado.

Mensagem não lida por geobson »

NigrumCibum escreveu:
Sex 15 Jan, 2021 23:26
O gabarito está rrrado e a resposta do cara acima correta
Obrigado. Sendo assim , caso encerrado como erro de gabarito .




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