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Região hachurada em um triângulo inscrito

Enviado: Qui 10 Dez, 2020 07:07
por geobson
(Dificílima!)

Se " O" é centro e a área da região triangular ABC é 120, calcule a área da região quadrangular MBNO..
Resposta

60

Re: Região hachurada em um triângulo inscrito

Enviado: Seg 04 Jan, 2021 14:32
por geobson
.......up.......................

Re: Região hachurada em um triângulo inscrito

Enviado: Seg 04 Jan, 2021 17:42
por null
o quadrilátero BMHN é inscritível, sera que essa circunferência e tangente no ponto B a circunferência maior ?
FelipeMartin consegue algo usando homotetia (caso forem tangentes) ?

Re: Região hachurada em um triângulo inscrito

Enviado: Seg 04 Jan, 2021 19:01
por NigrumCibum
Não é tangente mas a outra ali é(em qualquer configuração)
20210104_190844.jpg
20210104_190844.jpg (45.93 KiB) Exibido 1351 vezes

Re: Região hachurada em um triângulo inscrito

Enviado: Ter 05 Jan, 2021 01:56
por FelipeMartin
null escreveu:
Seg 04 Jan, 2021 17:42
o quadrilátero BMHN é inscritível, sera que essa circunferência e tangente no ponto B a circunferência maior ?
FelipeMartin consegue algo usando homotetia (caso forem tangentes) ?
realmente não são tangentes via de regra.

A circunferência que o NigrumCibum apontou é tangente, pois os centros das duas são alinhados com o ponto B, já que BO é diâmetro daquela ali.

Esse problema é legal. Parece ter a ver com aquele triângulo estranho OMN ou talvez seja só um pouco de álgebra mesmo.

O jvmago demonstrou uma fórmula lá sobre a soma das distâncias de O até os lados do triângulo. Com um pouco de álgebra esse problema sai, com certeza.

Re: Região hachurada em um triângulo inscrito

Enviado: Qua 06 Jan, 2021 01:50
por FelipeMartin
Com esse tópico aqui: viewtopic.php?f=28&t=82352

a coisa sai.

A área é [tex3]\frac12((R-f_a) \cdot BN + (R-f_c) \cdot BM)[/tex3] sendo [tex3]f_a = \frac{(r_a-r)}2[/tex3] e [tex3]BM = BH \cdot \sen (\angle BAC)[/tex3] só abrir aqui e deve dar metade da área do triângulo.

Re: Região hachurada em um triângulo inscrito

Enviado: Qui 07 Jan, 2021 00:10
por geobson
FelipeMartin escreveu:
Qua 06 Jan, 2021 01:50
Com esse tópico aqui: viewtopic.php?f=28&t=82352

a coisa sai.

A área é [tex3]\frac12((R-f_a) \cdot BN + (R-f_c) \cdot BM)[/tex3] sendo [tex3]f_a = \frac{(r_a-r)}2[/tex3] e [tex3]BM = BH \cdot \sen (\angle BAC)[/tex3] só abrir aqui e deve dar metade da área do triângulo.
Alguém , por favor, conseguiu chegar a conclusão , a partir dessas informações , de que essa expressão vale a metade da área total do triângulo?

Re: Região hachurada em um triângulo inscrito

Enviado: Dom 10 Jan, 2021 15:36
por FelipeMartin
[tex3]\angle BAC := \alpha[/tex3] , [tex3]\angle BCA = \beta[/tex3] e [tex3]BH = h[/tex3] .

[tex3](R-f_a)\cdot BN = (R - \frac{r_a-r}{2}) \cdot h \cdot \sen (\beta) = (2R+r-r_a) \cdot \frac h2 \cdot \sen (\beta)[/tex3]

analogamente:

[tex3](R-f_c) \cdot BM = (2R+r-r_c) \cdot \frac h2 \cdot \sen (\alpha)[/tex3]

então podemos por em evidência: [tex3]\frac h4[/tex3] da nossa expressão geral:

[tex3]S = \frac h4 ((2R+r-r_a)\cdot \sen (\beta) + ((2R+r-r_c)\cdot \sen (\alpha)) = \frac h4 \cdot x[/tex3]

como [tex3]x = (2R+r)(\sen(\beta) + \sen (\alpha)) - r_a \sen \beta - r_c \sen \alpha[/tex3]

da equação:
[tex3]pr = (p-a)r_a[/tex3] , tem-se [tex3]r_a = \frac{pr}{p-a}[/tex3]
e da lei dos senos: [tex3]\sen \beta = \frac{c}{2R}[/tex3] temos:

[tex3]x = (2R+r) \cdot (\frac{a+c}{2R}) - \frac{pr}{2R}(\frac c{p-a} + \frac a{p-c})[/tex3]

sendo [tex3]y = 2R \cdot x[/tex3] tem-se:

[tex3]y = (2R+r)(a+c) - \frac{pr}{(p-a)(p-c)} (p(a+c) -a^2-c^2) = (2R+r)(a+c) - \frac{(p-b)}{r}(p(a+c)-a^2-c^2)[/tex3]

[tex3]y =(a+c)(2R+r) - \frac{p-b}r(\frac{(a+b+c)(a+c)}2 - a^2 - c^2)[/tex3]

[tex3]y = (a+c)(2R+r) - \frac{p-b}r(-\frac12(a-c)^2 + b\frac{a+c}2)[/tex3]

Re: Região hachurada em um triângulo inscrito

Enviado: Dom 10 Jan, 2021 17:11
por geobson
FelipeMartin, perdoe minha pouca sabedoria. Mas ficou provado ser a metade da área?

Re: Região hachurada em um triângulo inscrito

Enviado: Dom 10 Jan, 2021 17:13
por FelipeMartin
não, ainda não. Eu travei naquele [tex3]r[/tex3] ali. Se for abrir tudo provavelmente sai, mas dá muito mais conta do que eu achei.