Ensino FundamentalRegião hachurada em um triângulo inscrito Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Fundamental devem ser postados aqui (exceto problemas de Vestibulares).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
jvmago
5 - Mestre
Mensagens: 2713
Registrado em: Qui 06 Jul, 2017 14:54
Última visita: 24-02-24
Fev 2021 15 23:13

Re: Região hachurada em um triângulo inscrito

Mensagem não lida por jvmago »

received_425214335403859.jpeg
received_425214335403859.jpeg (81.33 KiB) Exibido 1547 vezes
A questão em si não é mirabolante basta um olhar agussado pois precisamos provar que O é ortocentro do triângulo BMN feito isso são só trivialidades! PARTIU

De imediato notemos que BMHN é inscritivel.

Por propriedade do triângulo inscrito, cujos lados são os pés das altura menores tal que essas partem de uma maior, então se um dos vértices pertence ao circuncentro então o quadrilátero é paralelogramo !

E ISSO É BRILHANTE prolongue ON e OM até que encontrem AB e BC

note que PN é perpendicular a AB bem como MQ é perpendicular a BC

Traçando MN e BH' fica fácil verificar que O é ortocentro como eu queria! Agora é fácil demais 🤪

Note por homotetia que os ângulos AbH e CbH' são isogonais e portanto congruos! Isso é a saída de quiser fazer por trigonometria ;)

Observando MBNO e MBN vemos que a área hachurada será

2x=(MH'+H'N)OB
2x=MN*OB


Agora ACABOU

Note que P e Q são pontos médios

Note agora que ABC~BMN portanto

(AC)/(MN) = 2(a+b)/(2m+n)


Pelos ângulos isogonais temos que BMH~BQO portanto

(BH)/(BO) = (a+2b)/(m+n)

Multiplicando as duas expressões

(AC*BH)/(BO*MN) = 2((a+b)(a+2b))/((2m+n)(m+n))

E isso é fácil encontrar!

Veja no quadrilátero AMNC ou MPQN que estes são inscritiveis então usando potencia de ponto em B temos

(a+b)(a+2b)=(m+n)(2m+n) e fim de problema

(2*120)/2x=2
[tex3]4x=4[MBNO]=24[/tex3]
[tex3]x=60[/tex3]

[tex3]PIMBADA.GOSTOSA[/tex3] IZI SENHORES



Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

Avatar do usuário
Autor do Tópico
geobson
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 3764
Registrado em: Dom 02 Jun, 2013 20:01
Última visita: 27-03-24
Fev 2021 15 23:28

Re: Região hachurada em um triângulo inscrito

Mensagem não lida por geobson »

jvmago, finalmente resolvido !!!
pra você tiro meu chapéu !!
não é mirabolante , mas é para poucos , enfim , seletos bem restritos he he
obrigado , finalmente pôs-se um termo a esta questão.




Avatar do usuário
jvmago
5 - Mestre
Mensagens: 2713
Registrado em: Qui 06 Jul, 2017 14:54
Última visita: 24-02-24
Fev 2021 15 23:34

Re: Região hachurada em um triângulo inscrito

Mensagem não lida por jvmago »

O bizu é pegar as questões do mestre Flávio e resolver tudo! Vão ficar badass :lol::lol:


Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

Loreto
2 - Nerd
Mensagens: 699
Registrado em: Qua 13 Jul, 2011 09:52
Última visita: 22-03-24
Fev 2021 16 00:03

Re: Região hachurada em um triângulo inscrito

Mensagem não lida por Loreto »

Gente, isso é geometria Euclidiana? Porque não parece.



Avatar do usuário
jvmago
5 - Mestre
Mensagens: 2713
Registrado em: Qui 06 Jul, 2017 14:54
Última visita: 24-02-24
Fev 2021 16 00:09

Re: Região hachurada em um triângulo inscrito

Mensagem não lida por jvmago »

Loreto escreveu:
Ter 16 Fev, 2021 00:03
Gente, isso é geometria Euclidiana? Porque não parece.
Com certeza, só é um pouco abstrata


Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

FelipeMartin
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 2196
Registrado em: Sáb 04 Jul, 2020 10:47
Última visita: 27-03-24
Fev 2021 16 00:12

Re: Região hachurada em um triângulo inscrito

Mensagem não lida por FelipeMartin »

Loreto, no Brasil, os temas da escola são feitos pra passar em prova e por isso mesmo são todos mutilados no ensino básico. Esse tipo de pergunta nunca vai num cair num vestibular, mas sim isso é sem dúvida nenhuma geometria euclideana.

Agora, têm umas passagens esotéricas no que foi escrito pelo jvmago: não é trivial que HMON é paralelogramo e tem aquele clássico "por homotetia" que nunca indica qual diabo de homotetia ele está se referindo.


φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.

FelipeMartin
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 2196
Registrado em: Sáb 04 Jul, 2020 10:47
Última visita: 27-03-24
Fev 2021 16 00:29

Re: Região hachurada em um triângulo inscrito

Mensagem não lida por FelipeMartin »

Por exemplo, dá pra provar que [tex3]BO \perp MN[/tex3] sem saber que [tex3]HMON[/tex3] é paralelogramo:

Como ortocentro e circuncentro são sempre conjugados isogonais, então [tex3]\angle ABH = \angle NBO = \alpha[/tex3] .

Como HMBN é cíclico, então [tex3]\angle BHM= \angle MNB = 90 - \alpha[/tex3] e dai sai que [tex3]BO \perp MN[/tex3] e sai a fórmula de área que ele usou, mas eu acho que HMON não é paralelogramo não.

Pronto, eu tenho certeza que HMON NÃO é paralelogramo, na maioria dos casos e portanto O NÃO é ortocentro do BMN, na maioria dos casos.
naoparalelogramo.png
naoparalelogramo.png (20.77 KiB) Exibido 1509 vezes
Isso não invalida o resultado final, mas muda algumas continhas.
Última edição: FelipeMartin (Ter 16 Fev, 2021 01:04). Total de 2 vezes.


φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.

Loreto
2 - Nerd
Mensagens: 699
Registrado em: Qua 13 Jul, 2011 09:52
Última visita: 22-03-24
Fev 2021 16 09:11

Re: Região hachurada em um triângulo inscrito

Mensagem não lida por Loreto »

Obrigado por responder minha dúvida. É que eu acho esse livro peruano bem bizarro, só não sei o motivo dessa dedicação que vocês têm nele. Kkk
Enfim, cada um com seus gostos. 😌



Avatar do usuário
Babi123
2 - Nerd
Mensagens: 1369
Registrado em: Sex 28 Jul, 2017 21:05
Última visita: 26-03-24
Fev 2021 16 10:51

Re: Região hachurada em um triângulo inscrito

Mensagem não lida por Babi123 »

jvmago escreveu:
Seg 15 Fev, 2021 23:13
É que eu acho esse livro peruano bem bizarro, só não sei o motivo dessa dedicação que vocês têm nele. Kkk
Enfim, cada um com seus gostos.


Voltar ao topo
Resposta Rápida
Bizarro=interessante/difícil/desafiador você encontra mesmo em abundância nos livros gregos e russos...Esses problemas peruanos tem alguns q são interessantes sim, mas tem muitos outros com inconsistência, erros, etc...

Quanto a dedicação vejo que na matemática é importante/interessante resolver problemas que tragam algum resultado novo ou que VC precise usar uma técnica existente q ainda não conhece ou mesmo desenvolver uma técnica (ou raciocínio) para atacar com mais eficiência...tem alguns probs peruanos de Geo. que não trazem nada de novo (só replicação de ideias prontas), outros só testam a paciência e outros trazem algo interessante...
Última edição: Babi123 (Ter 16 Fev, 2021 10:58). Total de 1 vez.



FelipeMartin
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 2196
Registrado em: Sáb 04 Jul, 2020 10:47
Última visita: 27-03-24
Fev 2021 16 11:17

Re: Região hachurada em um triângulo inscrito

Mensagem não lida por FelipeMartin »

Loreto escreveu:
Ter 16 Fev, 2021 09:11
É que eu acho esse livro peruano bem bizarro, só não sei o motivo dessa dedicação que vocês têm nele. Kkk
Enfim, cada um com seus gostos. 😌
kkkkk é o famoso doutor Segadas do Triste fim do Policarpo Quaresma "Se não era formado, pra quê (tantos livros)? Pedantismo". Figura muito comum aqui no Brasil.



φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Ensino Fundamental”