Ensino Fundamental ⇒ Região hachurada em um triângulo inscrito Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Fev 2021
15
23:13
Re: Região hachurada em um triângulo inscrito
De imediato notemos que BMHN é inscritivel.
Por propriedade do triângulo inscrito, cujos lados são os pés das altura menores tal que essas partem de uma maior, então se um dos vértices pertence ao circuncentro então o quadrilátero é paralelogramo !
E ISSO É BRILHANTE prolongue ON e OM até que encontrem AB e BC
note que PN é perpendicular a AB bem como MQ é perpendicular a BC
Traçando MN e BH' fica fácil verificar que O é ortocentro como eu queria! Agora é fácil demais
Note por homotetia que os ângulos AbH e CbH' são isogonais e portanto congruos! Isso é a saída de quiser fazer por trigonometria
Observando MBNO e MBN vemos que a área hachurada será
2x=(MH'+H'N)OB
2x=MN*OB
Agora ACABOU
Note que P e Q são pontos médios
Note agora que ABC~BMN portanto
(AC)/(MN) = 2(a+b)/(2m+n)
Pelos ângulos isogonais temos que BMH~BQO portanto
(BH)/(BO) = (a+2b)/(m+n)
Multiplicando as duas expressões
(AC*BH)/(BO*MN) = 2((a+b)(a+2b))/((2m+n)(m+n))
E isso é fácil encontrar!
Veja no quadrilátero AMNC ou MPQN que estes são inscritiveis então usando potencia de ponto em B temos
(a+b)(a+2b)=(m+n)(2m+n) e fim de problema
(2*120)/2x=2
[tex3]4x=4[MBNO]=24[/tex3]
[tex3]x=60[/tex3]
[tex3]PIMBADA.GOSTOSA[/tex3] IZI SENHORES
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
Fev 2021
15
23:28
Re: Região hachurada em um triângulo inscrito
jvmago, finalmente resolvido !!!
pra você tiro meu chapéu !!
não é mirabolante , mas é para poucos , enfim , seletos bem restritos he he
obrigado , finalmente pôs-se um termo a esta questão.
pra você tiro meu chapéu !!
não é mirabolante , mas é para poucos , enfim , seletos bem restritos he he
obrigado , finalmente pôs-se um termo a esta questão.
Fev 2021
15
23:34
Re: Região hachurada em um triângulo inscrito
O bizu é pegar as questões do mestre Flávio e resolver tudo! Vão ficar badass
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
Fev 2021
16
00:03
Re: Região hachurada em um triângulo inscrito
Gente, isso é geometria Euclidiana? Porque não parece.
Fev 2021
16
00:09
Re: Região hachurada em um triângulo inscrito
Com certeza, só é um pouco abstrata
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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Fev 2021
16
00:12
Re: Região hachurada em um triângulo inscrito
Loreto, no Brasil, os temas da escola são feitos pra passar em prova e por isso mesmo são todos mutilados no ensino básico. Esse tipo de pergunta nunca vai num cair num vestibular, mas sim isso é sem dúvida nenhuma geometria euclideana.
Agora, têm umas passagens esotéricas no que foi escrito pelo jvmago: não é trivial que HMON é paralelogramo e tem aquele clássico "por homotetia" que nunca indica qual diabo de homotetia ele está se referindo.
Agora, têm umas passagens esotéricas no que foi escrito pelo jvmago: não é trivial que HMON é paralelogramo e tem aquele clássico "por homotetia" que nunca indica qual diabo de homotetia ele está se referindo.
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Fev 2021
16
00:29
Re: Região hachurada em um triângulo inscrito
Por exemplo, dá pra provar que [tex3]BO \perp MN[/tex3]
Como ortocentro e circuncentro são sempre conjugados isogonais, então [tex3]\angle ABH = \angle NBO = \alpha[/tex3] .
Como HMBN é cíclico, então [tex3]\angle BHM= \angle MNB = 90 - \alpha[/tex3] e dai sai que [tex3]BO \perp MN[/tex3] e sai a fórmula de área que ele usou, mas eu acho que HMON não é paralelogramo não.
Pronto, eu tenho certeza que HMON NÃO é paralelogramo, na maioria dos casos e portanto O NÃO é ortocentro do BMN, na maioria dos casos.
Isso não invalida o resultado final, mas muda algumas continhas.
sem saber que [tex3]HMON[/tex3]
é paralelogramo:Como ortocentro e circuncentro são sempre conjugados isogonais, então [tex3]\angle ABH = \angle NBO = \alpha[/tex3] .
Como HMBN é cíclico, então [tex3]\angle BHM= \angle MNB = 90 - \alpha[/tex3] e dai sai que [tex3]BO \perp MN[/tex3] e sai a fórmula de área que ele usou, mas eu acho que HMON não é paralelogramo não.
Pronto, eu tenho certeza que HMON NÃO é paralelogramo, na maioria dos casos e portanto O NÃO é ortocentro do BMN, na maioria dos casos.
Isso não invalida o resultado final, mas muda algumas continhas.
Última edição: FelipeMartin (Ter 16 Fev, 2021 01:04). Total de 2 vezes.
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Fev 2021
16
09:11
Re: Região hachurada em um triângulo inscrito
Obrigado por responder minha dúvida. É que eu acho esse livro peruano bem bizarro, só não sei o motivo dessa dedicação que vocês têm nele. Kkk
Enfim, cada um com seus gostos.
Enfim, cada um com seus gostos.
Fev 2021
16
10:51
Re: Região hachurada em um triângulo inscrito
Bizarro=interessante/difícil/desafiador você encontra mesmo em abundância nos livros gregos e russos...Esses problemas peruanos tem alguns q são interessantes sim, mas tem muitos outros com inconsistência, erros, etc...
Quanto a dedicação vejo que na matemática é importante/interessante resolver problemas que tragam algum resultado novo ou que VC precise usar uma técnica existente q ainda não conhece ou mesmo desenvolver uma técnica (ou raciocínio) para atacar com mais eficiência...tem alguns probs peruanos de Geo. que não trazem nada de novo (só replicação de ideias prontas), outros só testam a paciência e outros trazem algo interessante...
Última edição: Babi123 (Ter 16 Fev, 2021 10:58). Total de 1 vez.
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Fev 2021
16
11:17
Re: Região hachurada em um triângulo inscrito
kkkkk é o famoso doutor Segadas do Triste fim do Policarpo Quaresma "Se não era formado, pra quê (tantos livros)? Pedantismo". Figura muito comum aqui no Brasil.
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