Resposta
[tex3]\frac{R}{6}[/tex3]
Ensino Fundamental ⇒ Quadrante. Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Dez 2020
22
18:27
Quadrante.
Calcular EF, se m FB = 71°.
[tex3]\frac{R}{6}[/tex3]
[tex3]\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}[/tex3]
[tex3]\frac{R}{6}[/tex3]
- Anexos
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Dez 2020
22
20:00
Re: Quadrante.
Seja ''a'' o valor de [tex3]O_{2}O[/tex3]
e 'b'' o valor de [tex3]O_{1}B[/tex3]
.
Traçando [tex3]O_{2}O_{1}[/tex3] , você obterá um triângulo retângulo de catetos ''a'' e ''R-b'' e hipotenusa ''a+b'', logo:
[tex3](a+b)^{2}=(R-b)^{2}+a^{2}[/tex3]
[tex3]a^{2}+2ab+b^{2}=R^{2}-2Rb+b^{2}+a^{2}[/tex3]
[tex3]2ab=R^{2}-2Rb[/tex3]
Perceba que [tex3]a=\frac{R}{2}[/tex3] . Sendo assim:
[tex3]2\frac{R}{2}b=R^{2}-2Rb \rightarrow R^{2}-3Rb=0 \therefore b=\frac{R}{3}[/tex3]
Então, a hipotenusa mede: [tex3]a+b=\frac{R}{2}+\frac{R}{3}=\frac{5R}{6}[/tex3]
Seja [tex3]\alpha[/tex3] a medida do ângulo [tex3]O_{2}O_{1}O[/tex3] , então:
[tex3]sen(\alpha)=\frac{a}{a+b}=\frac{\frac{R}{2}}{\frac{5R}{6}}=\frac{3}{5}\therefore \alpha=37º[/tex3]
OBS.: a medida de [tex3]\alpha[/tex3] é igual a 37º pois é um dos ângulos que formam o terno pitagórico (3k,4k,5k).
Portanto, a medida do ângulo [tex3]FO_{1}E[/tex3] é igual a [tex3]180º-71º-37º=72º[/tex3]
Utilizando a lei dos cossenos no triângulo [tex3]FO_{1}E[/tex3] :
[tex3]FE^{2}=O_{1}F^{2}+O_{1}E^{2}-2.O_{!}F.O_{1}E.cos(72º)[/tex3]
[tex3]FE^{2}=\frac{R^{2}}{9}+\frac{R^{2}}{9}-2.\frac{R}{3}.\frac{R}{3}.\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)[/tex3]
[tex3]FE^{2}=\frac{2R^{2}}{9}-\frac{2R^{2}}{9}.\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)[/tex3]
[tex3]FE^{2}=\frac{2R^{2}}{9}.\left(1-\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right)\rightarrow FE^{2}=\frac{2R^{2}}{9}.\left(\frac{5-\sqrt{5}}{4}\right)[/tex3]
[tex3]\therefore FE=\frac{R}{6}\sqrt{10-2\sqrt{5}}[/tex3]
Traçando [tex3]O_{2}O_{1}[/tex3] , você obterá um triângulo retângulo de catetos ''a'' e ''R-b'' e hipotenusa ''a+b'', logo:
[tex3](a+b)^{2}=(R-b)^{2}+a^{2}[/tex3]
[tex3]a^{2}+2ab+b^{2}=R^{2}-2Rb+b^{2}+a^{2}[/tex3]
[tex3]2ab=R^{2}-2Rb[/tex3]
Perceba que [tex3]a=\frac{R}{2}[/tex3] . Sendo assim:
[tex3]2\frac{R}{2}b=R^{2}-2Rb \rightarrow R^{2}-3Rb=0 \therefore b=\frac{R}{3}[/tex3]
Então, a hipotenusa mede: [tex3]a+b=\frac{R}{2}+\frac{R}{3}=\frac{5R}{6}[/tex3]
Seja [tex3]\alpha[/tex3] a medida do ângulo [tex3]O_{2}O_{1}O[/tex3] , então:
[tex3]sen(\alpha)=\frac{a}{a+b}=\frac{\frac{R}{2}}{\frac{5R}{6}}=\frac{3}{5}\therefore \alpha=37º[/tex3]
OBS.: a medida de [tex3]\alpha[/tex3] é igual a 37º pois é um dos ângulos que formam o terno pitagórico (3k,4k,5k).
Portanto, a medida do ângulo [tex3]FO_{1}E[/tex3] é igual a [tex3]180º-71º-37º=72º[/tex3]
Utilizando a lei dos cossenos no triângulo [tex3]FO_{1}E[/tex3] :
[tex3]FE^{2}=O_{1}F^{2}+O_{1}E^{2}-2.O_{!}F.O_{1}E.cos(72º)[/tex3]
[tex3]FE^{2}=\frac{R^{2}}{9}+\frac{R^{2}}{9}-2.\frac{R}{3}.\frac{R}{3}.\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)[/tex3]
[tex3]FE^{2}=\frac{2R^{2}}{9}-\frac{2R^{2}}{9}.\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)[/tex3]
[tex3]FE^{2}=\frac{2R^{2}}{9}.\left(1-\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right)\rightarrow FE^{2}=\frac{2R^{2}}{9}.\left(\frac{5-\sqrt{5}}{4}\right)[/tex3]
[tex3]\therefore FE=\frac{R}{6}\sqrt{10-2\sqrt{5}}[/tex3]
Última edição: jpedro09 (Ter 22 Dez, 2020 20:05). Total de 1 vez.
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