Ensino Fundamental ⇒ Razão entre áreas.

[geobson]

Calcular a razão entre as áreas sombreadas , se m arc. NB= 74°; P, T, Q, S, M e Lsão pontos médios.

Resposta

---

[tex3]\frac{(32)}{(27^{2})}^{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{(32)}{(27^{2})}^{2}[/tex3]

[jpedro09]

O ponto [tex3]M[/tex3]

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[tex3]M[/tex3]

é médio de qual segmento? Não pode ser [tex3]AO[/tex3]

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[tex3]AO[/tex3]

pois [tex3]MO=\frac{R}{3}[/tex3]

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[tex3]MO=\frac{R}{3}[/tex3]

[geobson]

jpedro09, seria [tex3]\frac{R}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{R}{4}[/tex3]

,ja que AO= [tex3]\frac{R}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{R}{2}[/tex3]

?

[jpedro09]

Trace [tex3]OP[/tex3]

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[tex3]OP[/tex3]

, perceba que o arco [tex3]AP[/tex3]

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[tex3]AP[/tex3]

mede [tex3]\frac{180º-74º}{2}=53º[/tex3]

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[tex3]\frac{180º-74º}{2}=53º[/tex3]

, então, o ângulo [tex3]AOP[/tex3]

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[tex3]AOP[/tex3]

mede [tex3]53º[/tex3]

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[tex3]53º[/tex3]

.
Agora, seja [tex3]O'[/tex3]

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[tex3]O'[/tex3]

o centro da circunferência maior. Trace o raio desta circunferência (irei chamar de ''a'') até M, logo:

[tex3]sen(53º)=\frac{a}{OP-OO'}[/tex3]

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[tex3]sen(53º)=\frac{a}{OP-OO'}[/tex3]

[tex3]\frac{4}{5}=\frac{a}{R-a}[/tex3]

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[tex3]\frac{4}{5}=\frac{a}{R-a}[/tex3]

[tex3]4(R-a)=5a \rightarrow 4R-4a=5a \therefore a=\frac{4R}{9}[/tex3]

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[tex3]4(R-a)=5a \rightarrow 4R-4a=5a \therefore a=\frac{4R}{9}[/tex3]

Portanto, como o outro ângulo mede [tex3]37º[/tex3]

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[tex3]37º[/tex3]

:

[tex3]sen(37º)=\frac{OM}{OP-OO'}[/tex3]

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[tex3]sen(37º)=\frac{OM}{OP-OO'}[/tex3]

[tex3]\frac{3}{5}=\frac{OM}{R-\frac{4R}{9}}\therefore OM=3.\frac{5R}{9.5}=\frac{R}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{3}{5}=\frac{OM}{R-\frac{4R}{9}}\therefore OM=3.\frac{5R}{9.5}=\frac{R}{3}[/tex3]

[geobson]

jpedro09, realmente , tá confuso, tá discrepante essa questão.
acabei de rever no livro, porque poderia ter sido erro meu, mas constatei que realmente está dessa forma no livro.

[geobson]

jpedro09, talvez tenham trocados "pontos de tangência" por "pontos médios" , equivocando-se.

[geobson]

Alguém ? Por favor !!!

[geobson]

.........up............

[geobson]

jvmago, alguma sugestão, meu amigo?

[petras]

Apenas para ilusttração pelo Geogebra o gabarito não fecha.. Calculando a razão encontraremos 2,064 ..
Os pontos são de tangência aparentemente