Ensino Fundamental

Mensagem não lidapor **geobson** » Sex 06 Nov, 2020 15:53

Na figura, AB=10, BC=4 e MP=6; calcular PN.( M e N são centros).

Resposta

2,4

.......up......................

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- Como <CBK=<ABK=90°, então KC e KA são diâmetros.
- Como K é a intersecção das 2 circunferências, então KB é o eixo radical delas.
- Assim, KB é perpendicular a MN, por consquência MN//AC
- Como M e N são pontos médios e MN//AC, então MN é base média do triângulo ACK, ou seja:
[tex3]2MN = AC [/tex3]
[tex3]2\cdot (6+PN) = 14 \rightarrow \boxed{PN=1}[/tex3]

Mensagem não lidapor **geobson** » Qua 23 Dez, 2020 22:54

Ittalo25, há como provar que BP é perpendicular à MN , ja que a questão não afirma serem AC e MN paralelas?

BK é o eixo radical das 2 circunferências, é uma propriedade conhecida de que o eixo radical é perpendicular a linha que une os centros das 2 circunferências.

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sem perda de generalidade as 2 circunferências centradas no eixo x apenas para facilitar as contas.
[tex3]A = (a,0) [/tex3] e [tex3]B= (b,0) [/tex3]
e [tex3]D = (x,y) [/tex3] o ponto de intersecção entre as circunferências.

Pitágoras:
[tex3]\begin{cases}
DA^2 = y^2+(x-a)^2 \\
DB^2=y^2+(b-x)^2
\end{cases}[/tex3]

Então:
[tex3]y^2+(x-a)^2-DA^2 = y^2+(b-x)^2-DB^2 [/tex3]
[tex3]x = \frac{DA^2-DB^2+b^2-a^2}{2a-2b} [/tex3]

[tex3]x = \frac{DA^2-DB^2+b^2-a^2}{2a-2b} [/tex3] é uma equação linear, então é uma reta.
a e b são números fixos, DA e DB são os raios das circunferências, ou seja, são fixos também. Então [tex3]x = \frac{DA^2-DB^2+b^2-a^2}{2a-2b} [/tex3] é um número fixo. Sendo assim é uma reta perpendicular ao eixo x, ou seja, é perpendicular ao segmento que une os centros das 2 circunferências.

Mensagem não lidapor **geobson** » Qui 24 Dez, 2020 02:08

Ittalo25, tudo bem incontestável tal propriedade, mas ainda assim há uma pergunta , o que garante que B , P e K estão alinhados , tipo assim , ainda estamos assumindo que BP , perpendicular a MN , daí o consequente alinhamento dos três pontos e o consequente paralelismo das retas MN em relação à BC. Afinal a questão diz que PB é perpendicular à AC e não à MN, o que não nos assegura ser PN eixo radicao .

Mensagem não lidapor **geobson** » Qui 24 Dez, 2020 02:15

Ittalo25, porque tipoassim se AC// MN , Consequentemente a reta BK passaria por P pela propiedade que existe de MN ser medjatriz . tudo bem .

Mensagem não lidapor **geobson** » Qui 24 Dez, 2020 02:22

Ittalo25, você entendeu o que tou querendo dizer? Que nada pode me garantir que o ponto P esteja no eixo radical BK, ne isso?ou seja BK corta MN perpendicularmente , mas não necessariamente em P.

geobson escreveu: ↑
Qui 24 Dez, 2020 02:22
Ittalo25, você entendeu o que tou querendo dizer? Que nada pode me garantir que o ponto P esteja no eixo radical BK, ne isso?ou seja BK corta MN perpendicularmente , mas não necessariamente em P.

É verdade, não necessariamente corta em P

Mensagem não lidapor **geobson** » Sex 25 Dez, 2020 20:32

Apos pensar muito , bolei uma solução legal.
Trace duas retas paralelas à PB passando pelo centro da cada circunferência .
Assim ND é mediatriz de BC, assim como ME é mediatriz de AB.
Agora trace umaparalela à AB passando por M cortando PB em L e ND em K.
Pronto , agora apliquemos o teorema de tales no triângulo formado MKN.

[tex3]\frac{ML}{LK} = \frac{MP}{PN}[/tex3]
[tex3]\frac{5}{2} = \frac{6}{PN}[/tex3]
5·PN=12
PN=2,4

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