Ensino Fundamental

Mensagem não lidapor **geobson** » Qui 22 Out, 2020 14:25

Na figura abaixo, AOB é um quadrante,OA=OB=[tex3]\sqrt{2}[/tex3] +1, DE=EB=EC. Calcular OD.
A)1
B)2
C)[tex3]\sqrt{2}[/tex3]
D)[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
E)[tex3]\frac{1}{3}[/tex3]

Resposta

A

Considere os lados DE=EC=EB=x.

Ligando o ponto D ao ponto C, formamos o triângulo CED de catetos iguais, portanto o Ângulo CDE= 45°. Repare que o Ângulo CDE subtem o arco CB, logo o arco CB vale 45°.

Ligando o ponto O ao ponto C, formamos o Ângulo BOC= 45° pois esse, subtem o arco CB.

No triÂngulo BEC, a hipotenusa CB vale [tex3]\sqrt{2}x[/tex3] : [tex3]x^{2}+x^{2} = CB^{2}[/tex3] .

Levando em consideração os itens acima, formamos um triÂngulo OBC isósceles de lados igual a [tex3]\sqrt[]{2}+1[/tex3] e [tex3]\sqrt[]{2}x[/tex3] , podemos assim, aplicar a lei dos cossenos nesse triÂngulo.

[tex3]\sqrt{2}x^{2}[/tex3] = 2 [tex3](\sqrt{2}+1)^{2}[/tex3] - 2([tex3](\sqrt{2}+1)^{2}[/tex3] x (cos45= [tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3] )

Daí, chegamos em x= [tex3]\frac{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}{2}[/tex3] .

Para finalizar, aplicamos o teorema de tales no triÂngulo OBD de hipotenusa= 2x.

[tex3]OD^{2} + (\sqrt{2}+1)^{2}[/tex3] = 4 [tex3]x^{2}[/tex3] .

[tex3]OD^{2}[/tex3] = 4 + [tex3]2\sqrt{2}[/tex3] - 3 - [tex3]2\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]OD^{2}[/tex3] = 1

OD = 1

Gabarito: LETRA A

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