Ensino FundamentalSemelhança Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Fundamental devem ser postados aqui (exceto problemas de Vestibulares).

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geobson
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Semelhança

Mensagem não lida por geobson »

No gráfico, CN//AQ.Se CM=2(BM),AS=2(CS) e BR=5, calcular PR.
A)6
B)11
C)10
D)8
E)9
Resposta

C
Anexos
20201020_232117.jpg
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geobson
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Re: Semelhança

Mensagem não lida por geobson »

Esse belíssimo problema também foi retirado do capítulo do livro de semelhança de triângulo. Não cinsegui resolver , peço , por favor, humildimente. A quem souber resolvee , que o faça ...




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jvmago
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Re: Semelhança

Mensagem não lida por jvmago »

Essa tem que usar o teorema de menelaus segundo caso, estou sem papel então fica como Ward para mais tarde


Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

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geobson
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Re: Semelhança

Mensagem não lida por geobson »

jvmago, ok, meu amigo aguardo......



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geobson
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Re: Semelhança

Mensagem não lida por geobson »

.....................up...................



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NigrumCibum
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Re: Semelhança

Mensagem não lida por NigrumCibum »

Seja T o ponto onde as retas BS, AM e CN concorrem, respectivamente. Pelo teorema de Menelaus aplicado ao triângulo ABP e à transversal NRQ, tem-se: [tex3]{AQ\over PQ}×{PR \over RB}×{BN\over NA}=1 ~(I).[/tex3]
Aplicando o teorema de Ceva ao triângulo ABC, tem-se: [tex3]{BN \over NA}×{AS\over SC}×{CM\over BM}=1⇒{BN\over NA}×{2CS\over CS}×{2BM\over BM}=1[/tex3]
[tex3]⇒{BN\over NA}={1\over 4}~(II).[/tex3]
Substituindo (II) em (I), temos: [tex3]{AQ\over PQ}×{PR\over 5}×{1\over 4}=1⇒{{AQ\over PQ}×PR}=20.[/tex3]
Observe que, como CN//AQ, então [tex3]\triangle BNC\cong \triangle ANQ[/tex3] , [tex3]\angle BNC=\angle BAQ[/tex3] , [tex3]\angle QNC=\angle NQA[/tex3] , o que implica que NT//AQ e que [tex3]\triangle BNT\cong \triangle BAQ[/tex3] , portanto: [tex3]{BN\over BA}={BT\over BQ}⇒{BT\over BQ}={1\over 5}⇒BQ=5BT~(III)[/tex3]
Aplicando o teorema de Ceva ao triângulo ABQ, tem-se, por fim: [tex3]{BN\over NA}×{AP\over PQ}×{QT\over TB}=1[/tex3] , mas pelas igualdades (II) e (III), temos:
[tex3]{1\over 4}×{AP\over PQ}×{4BT\over TB}=1⇒AP=PQ[/tex3] , deste modo:
[tex3]{{AQ\over PQ}×PR}=20⇒{2PQ\over PQ}×PR=20⇒PR=10[/tex3] and it's done!


Arrêter le temps!

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Re: Semelhança

Mensagem não lida por geobson »

NigrumCibum, obrigado.



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jvmago
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Re: Semelhança

Mensagem não lida por jvmago »

Vou aproveitar o embalo do campanha e que eu acabei de esboçar todas as questões e apresentar minha saída


Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

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Re: Semelhança

Mensagem não lida por jvmago »

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USER_SCOPED_TEMP_DATA_MSGR_PHOTO_FOR_UPLOAD_1606776241906_6739308018534215989.jpeg (72.89 KiB) Exibido 952 vezes


Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

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Re: Semelhança

Mensagem não lida por jvmago »

Nessa solução vou buscar utilizar o mínimo possível de semelhança

Façamos as convenções

BM=l então CM=2l

CS=k então AS=2k

Aplicando o teorema de ceva em D em relação ao ABC

AN*l*k=NB*2l*2k então

AN=4BN façamos BN=m e então AN=4m

Aplicando menelaus em relação ao quadrilátero concavo ABCD

1/3 * 4/1* BD/DS=1

BD=(3DS)/4 façamos DS=4n e teremos BD=3n

Agora acabou note que como CN//AQ então os triângulos ABQ e BND são semelhantes e podemos verificar que estão na proporção 1:5

Portanto BQ=15n tal que QS=8n

Por propriedade das proporções de stevon P é ponto médio logo AP=PQ=t (tbm dá para provar usando ceva em R em relação a ABQ)

Aplicando menelaus em ABQR temos

t/2t* 4/1 * 5/x=1

Donde sai x=10

PIMBADA



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