Por simplicidade de notação, denote por [tex3]x=\overline{2pqr}[/tex3]
. Como [tex3]p,q,r[/tex3]
são algarismos, temos que [tex3]p,q,r\in \{0,~1,~2,~3,~4,~5,~6,~7, ~8,~9\}[/tex3]
O algarismo das unidades de [tex3]4x[/tex3]
é o algarismo das unidades de [tex3]4r.[/tex3]
Se você testar os possíveis valores de [tex3]r[/tex3]
verá que os únicos que resultam em [tex3]2[/tex3]
por algarismo das unidades são [tex3]r=3[/tex3]
e [tex3]r=8.[/tex3]
Mas, como a algarismo das unidades de [tex3]x[/tex3]
é [tex3]2[/tex3]
o algarismo das unidades de [tex3]4x[/tex3]
deve ser, no minimo, [tex3]2 \cdot 4=8[/tex3]
então [tex3]r\ge 8.[/tex3]
Logo a única possibilidade é [tex3]r=8[/tex3]
Temos que
[tex3]\begin{cases} x= \overline{2pqr} = 2.000 + 100p + 10q + 8 \\ 4x = \overline{rqp2} = 8.000 + 100q + 10p +2 \end{cases} \iff[/tex3]
[tex3]\cancel{8.000}+400p + 40q +32 = \cancel{8.000} + 100q +10p +2 \iff[/tex3]
[tex3]390p+30=60q \iff[/tex3]
[tex3]13p+1=2q \iff[/tex3]
como [tex3]q \le 9 \Rightarrow 2q\le 18[/tex3]
então as únicas possibilidades para [tex3]p[/tex3]
são [tex3]0[/tex3]
e [tex3]1.[/tex3]
Agora basta testar e a única possibicibilade que produz solução é [tex3]p=1[/tex3]
e, consequentemente [tex3]q=7.[/tex3]
Por fim [tex3]\boxed{p+q=1+7=8}[/tex3]