Ensino Fundamental

Mensagem não lidapor **botelho** » Seg 06 Jul, 2020 08:36

Se ABCD é um romboide e PQ=32,calcule AE.

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a)6
b)8
c)10
d)12
e)16

Resposta

b

botelho,
Seja M a interseção das retas PQ e BC.
Temos que [tex3]\triangle AMB\sim\triangle PMC\implies\frac{AM}{PM}=\frac{BM}{CM}[/tex3]
Agora, ligue BP e AC. Como [tex3]\angle AMC=\angle PMB[/tex3] e das proporções anteriores, temos que [tex3]\triangle AMC\sim\triangle PMB[/tex3]
Mas já temos que [tex3]AB\parallel PC[/tex3] , agora temos também que [tex3]PB\parallel AC [/tex3] , logo, [tex3]\square ABPC[/tex3] é um paralelogramo, logo, [tex3]AB=PC[/tex3] , mas perceba que isso nos dá que [tex3]MC[/tex3] é base média do triângulo APD, logo, seja [tex3]x=AE[/tex3] e [tex3]y=AB=PC[/tex3]
Pela Lei dos senos no [tex3]\triangle ABM[/tex3] , [tex3]\frac{x}{\sen20°}=\frac{y}{\sen40°}=\frac{y}{2\sen20°\cos20°}\implies y=2x\cos20°[/tex3]
No triângulo AEQ, temos que. [tex3]AQ=x\sec20°[/tex3]
Assim, como [tex3]\triangle AQE\sim\triangle PQD[/tex3]
[tex3]\frac{AE}{PD}=\frac{AQ}{PQ}\implies\frac{x}{x\sec20°}=\frac{4x\cos20°}{32}\implies x=8[/tex3]

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