Ensino Fundamental ⇒ Re: Circunferência Tópico resolvido

[botelho]

A, B e C são pontos de tangência.Se R=3,calcule r.

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a)[tex3]\frac{3\sqrt{3}}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{3\sqrt{3}}{4}[/tex3]

b)[tex3]\frac{3\sqrt{3}}{7}[/tex3]

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[tex3]\frac{3\sqrt{3}}{7}[/tex3]

c)[tex3]\frac{3\sqrt{3}}{5}[/tex3]

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[tex3]\frac{3\sqrt{3}}{5}[/tex3]

d)[tex3]\frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex3]

e)[tex3]\frac{3\sqrt{3}}{8}[/tex3]

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[tex3]\frac{3\sqrt{3}}{8}[/tex3]

Resposta

---

a

[Tassandro]

botelho,
Como B ponto de tangência, temos que o centro da semicircunferência e do círculo de raio r são colineares. Seja O o centro da circunferência maior. Logo, por Pitágoras
[tex3]OC^2+r^2=(R-r)^2\implies OC=\sqrt{R^2-2Rr}[/tex3]

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[tex3]OC^2+r^2=(R-r)^2\implies OC=\sqrt{R^2-2Rr}[/tex3]

Agora, ligando o ponto da extremidade esquerda do semicírculo da figura (vamos chamar de ponto K) ao centro do círculo menor (M), teremos que KM=R+r, e por Pitágoras no triângulo CKM, temos que
[tex3](R+r)^2=r^2+(R+\sqrt{R^2-2Rr})^2[/tex3]

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[tex3](R+r)^2=r^2+(R+\sqrt{R^2-2Rr})^2[/tex3]

Desenvolvendo, achamos que
[tex3]r=\frac{R\sqrt3}4[/tex3]

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[tex3]r=\frac{R\sqrt3}4[/tex3]

. Fazendo R=3, vem que
[tex3]r=\frac{3\sqrt3}4[/tex3]

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[tex3]r=\frac{3\sqrt3}4[/tex3]