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b)2
c)4
d)1,5
e)2,5
Resposta
a
Ensino Fundamental ⇒ Circunferência Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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Tassandro 
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- Localização: Teresina, PI.
Jun 2020
30
11:14
Re: Circunferência
botelho,
Belíssima questão...
Vamos lá
Seja O o centro da circunferência e M o ponto médio de AC e E o ponto em comum entre a circunferência e OM.
Sabemos que a área do triângulo ABC pode ser calculada de várias maneiras, mas vamos escolher duas estrategicamente: a fórmula de Hierão e a fórmula [tex3]\frac{abc}{4R}[/tex3] . Igualando essas duas expressões, vem que
[tex3]\sqrt{\frac{21}2\(\frac{21}2-6\)\(\frac{21}2-7\)\(\frac{21}2-8\)}=\frac{6\cdot7\cdot8}{4R}\implies R=\frac{16\sqrt{15}}{15}[/tex3]
Bem, agora, por Pitágoras,
[tex3]OM^2+\(\frac72\)^2=R^2\implies OM=\frac{17\sqrt{15}}{30}[/tex3]
Agora, mais um Pitágoras
[tex3]CE^2=\(\frac72\)^2+\(\frac{16\sqrt{15}}{15}-\frac{17\sqrt{15}}{30}\)^2\implies CE=4=AE[/tex3]
Agora, vamo aplicar o Teorema de Ptolomeu no quadrilátero ABCE
[tex3]BE\cdot7=6\cdot4+8\cdot4\implies BE=8[/tex3]
Agora, seja N o ponto médio de BE. Sabemos que [tex3]ON\perp BE[/tex3] , assim, temos que [tex3]EM=4[/tex3] e o triângulo retângulo ONE em N. Aplicando mais Pitágoras
[tex3]ON^2+4^2=R^2\implies ON=\frac{4\sqrt{15}}{15}[/tex3]
Agora, vamos usar semelhança de triângulos para achar [tex3]DM[/tex3] , pois sabemos que [tex3]AD+DM=\frac{AC}2=\frac72[/tex3]
Observe que [tex3]ME=\frac{16\sqrt{15}}{15}-\frac{17\sqrt{15}}{30}=\frac{\sqrt{15}}{2}[/tex3]
Por semelhança de triângulos
[tex3]\frac{DM}{\frac{\sqrt{15}}{2}}=\frac{\frac{4\sqrt{15}}{15}}{4}\implies DM=\frac12[/tex3]
E acabamos, ufa!!!
[tex3]AD+\frac12=\frac72\implies AD=3[/tex3]
Uma obra de arte!
Deve haver um modo mais fácil, mas só consegui assim
Belíssima questão...
Vamos lá
Seja O o centro da circunferência e M o ponto médio de AC e E o ponto em comum entre a circunferência e OM.
Sabemos que a área do triângulo ABC pode ser calculada de várias maneiras, mas vamos escolher duas estrategicamente: a fórmula de Hierão e a fórmula [tex3]\frac{abc}{4R}[/tex3] . Igualando essas duas expressões, vem que
[tex3]\sqrt{\frac{21}2\(\frac{21}2-6\)\(\frac{21}2-7\)\(\frac{21}2-8\)}=\frac{6\cdot7\cdot8}{4R}\implies R=\frac{16\sqrt{15}}{15}[/tex3]
Bem, agora, por Pitágoras,
[tex3]OM^2+\(\frac72\)^2=R^2\implies OM=\frac{17\sqrt{15}}{30}[/tex3]
Agora, mais um Pitágoras
[tex3]CE^2=\(\frac72\)^2+\(\frac{16\sqrt{15}}{15}-\frac{17\sqrt{15}}{30}\)^2\implies CE=4=AE[/tex3]
Agora, vamo aplicar o Teorema de Ptolomeu no quadrilátero ABCE
[tex3]BE\cdot7=6\cdot4+8\cdot4\implies BE=8[/tex3]
Agora, seja N o ponto médio de BE. Sabemos que [tex3]ON\perp BE[/tex3] , assim, temos que [tex3]EM=4[/tex3] e o triângulo retângulo ONE em N. Aplicando mais Pitágoras
[tex3]ON^2+4^2=R^2\implies ON=\frac{4\sqrt{15}}{15}[/tex3]
Agora, vamos usar semelhança de triângulos para achar [tex3]DM[/tex3] , pois sabemos que [tex3]AD+DM=\frac{AC}2=\frac72[/tex3]
Observe que [tex3]ME=\frac{16\sqrt{15}}{15}-\frac{17\sqrt{15}}{30}=\frac{\sqrt{15}}{2}[/tex3]
Por semelhança de triângulos
[tex3]\frac{DM}{\frac{\sqrt{15}}{2}}=\frac{\frac{4\sqrt{15}}{15}}{4}\implies DM=\frac12[/tex3]
E acabamos, ufa!!!
[tex3]AD+\frac12=\frac72\implies AD=3[/tex3]
Uma obra de arte!
Deve haver um modo mais fácil, mas só consegui assim
Dias de luta, dias de glória.
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