Ensino Fundamental ⇒ Divisibilidade Tópico resolvido

[diegocalm]

Calcule o dígito da ordem das centenas da expansão de 7 ⁷⁰⁷

Resposta

---

5

[Ittalo25]

basicamente é preciso calcular o resto da divisão desse número por 1000.

por sorte: [tex3]7^{20} \equiv 1 \mod(1000)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]7^{20} \equiv 1 \mod(1000)[/tex3]

então: [tex3]7^{707} = (7^{20})^{35} \cdot 7^7 \equiv 7^7 \equiv 543 \mod(1000)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]7^{707} = (7^{20})^{35} \cdot 7^7 \equiv 7^7 \equiv 543 \mod(1000)[/tex3]

então o dígito das centenas é 5.

[diegocalm]

basicamente é preciso calcular o resto da divisão desse número por 1000.

por sorte: [tex3]7^{20} \equiv 1 \mod(1000)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]7^{20} \equiv 1 \mod(1000)[/tex3]

então: [tex3]7^{707} = (7^{20})^{35} \cdot 7^7 \equiv 7^7 \equiv 543 \mod(1000)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]7^{707} = (7^{20})^{35} \cdot 7^7 \equiv 7^7 \equiv 543 \mod(1000)[/tex3]

então o dígito das centenas é 5.

A questão é o " por sorte " . Se existe um meio mais rápido e , sem ser por sorte , de se chegar a constatar que 7²⁰ é congruente a 1 mod (1000)

[Ittalo25]

basicamente é preciso calcular o resto da divisão desse número por 1000.

por sorte: [tex3]7^{20} \equiv 1 \mod(1000)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]7^{20} \equiv 1 \mod(1000)[/tex3]

então: [tex3]7^{707} = (7^{20})^{35} \cdot 7^7 \equiv 7^7 \equiv 543 \mod(1000)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]7^{707} = (7^{20})^{35} \cdot 7^7 \equiv 7^7 \equiv 543 \mod(1000)[/tex3]

então o dígito das centenas é 5.

A questão é o " por sorte " . Se existe um meio mais rápido e , sem ser por sorte , de se chegar a constatar que 7²⁰ é congruente a 1 mod (1000)

Se existe um jeito para conseguir exatamente, eu não conheço.
Mas consigo aproximar.
vou deixar algumas coisas e você pode pesquisar sobre depois.

o menor d tal que [tex3]7^d \equiv 1 \mod(1000) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]7^d \equiv 1 \mod(1000) [/tex3]

é chamado de ordem de 7 módulo 1000, escreve-se assim: [tex3]d = ord_{1000}7 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d = ord_{1000}7 [/tex3]

.

Como [tex3]mdc(7,1000)=1 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]mdc(7,1000)=1 [/tex3]

, então a função phi de euler diz que: [tex3]7^{\phi (1000)}\equiv 1 \mod(1000) [/tex3]

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[tex3]7^{\phi (1000)}\equiv 1 \mod(1000) [/tex3]

Existe uma fórmula para calcular [tex3]\phi(1000) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\phi(1000) [/tex3]

. Como [tex3]1000 = 2^3 \cdot 5^3 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1000 = 2^3 \cdot 5^3 [/tex3]

, então: [tex3]\phi(1000) =1000\cdot \left(1-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(1-\frac{1}{5}\right)=400[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\phi(1000) =1000\cdot \left(1-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(1-\frac{1}{5}\right)=400[/tex3]

então: [tex3]7^{400} \equiv 1 \mod(1000) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]7^{400} \equiv 1 \mod(1000) [/tex3]

mais uma propriedade interessante é que a ordem sempre divide a função de euler, ou seja: [tex3]ord_{1000}7|400 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ord_{1000}7|400 [/tex3]

os divisores de 400 são: {1,2,4,5,8,10,16,20,25,40,50,80,100,200,400}

então diminuímos [tex3]ord_{1000}7 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ord_{1000}7 [/tex3]

para 15 opções.