Ensino Fundamental ⇒ Equação irracional

[Lukinhas27]

A soma das raízes da equação:

[tex3]\sqrt[4]{1-x}+\sqrt[4]{15+x}=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt[4]{1-x}+\sqrt[4]{15+x}=2[/tex3]

a)-14
b)-15
c)-16
d)-17
e)-18

Resposta

---

A

[Tassandro]

Lukinhas27,
Fazendo [tex3]a=\sqrt[4]{1-x},b=\sqrt[4]{15+x},a\geq0,b\geq 0\\
\rightarrow\begin{cases}{a+b=2\\a^4+b^4=16}\end{cases}\\
\text{Elevando a primeira equação à 4 potência, vem que:}\\
a^4+2ab(2a^2+3ab+2b^2)+b^4=16\\
\implies 2ab(2a^2+3ab+2b^2)=0\implies a=0,b=2\text{ ou }a=2,b=0\\
a=0,b=2\implies x=1\\
a=2,b=0\implies x=-15\\
\boxed{\boxed{S=1-15=-14}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=\sqrt[4]{1-x},b=\sqrt[4]{15+x},a\geq0,b\geq 0\\
\rightarrow\begin{cases}{a+b=2\\a^4+b^4=16}\end{cases}\\
\text{Elevando a primeira equação à 4 potência, vem que:}\\
a^4+2ab(2a^2+3ab+2b^2)+b^4=16\\
\implies 2ab(2a^2+3ab+2b^2)=0\implies a=0,b=2\text{ ou }a=2,b=0\\
a=0,b=2\implies x=1\\
a=2,b=0\implies x=-15\\
\boxed{\boxed{S=1-15=-14}}[/tex3]

[petras]

Lukinhas27,
[tex3]\sqrt[4]{1-x}+\sqrt[4]{15+x}=2\\
Fazendo~\sqrt[4]{1-x}=a\rightarrow x = 1-a^4\\
a + \sqrt[4]{15+1-a^4}=2\rightarrow \\
a+\sqrt[4]{16-a^4}=2\rightarrow \\
(\sqrt[4]{16-a^4})^4=(2-a)^4 \rightarrow \\
16-a^4=16-32a+24a^2-8a^3+a^4\rightarrow \\
2a^4-8a^3+24a^2-32a=0\rightarrow 2a(a^3-4a^2+12a-16)=0\rightarrow \\
(Fatorando: 2a(a-2)(a^2-2a+8)\rightarrow a=0,ou ~a = 2~ ou~ \cancel{a= 1\pm \sqrt{7}i }(\text{como são simétricas a soma será nula)}\\
\therefore a=0\rightarrow substituindo~em ~(I)\\
1-0^4 = x\rightarrow \boxed{x=1}\\
1-2^4=x\rightarrow \boxed{x=-15}\\
\therefore 1-15 = \boxed{\color{red}-14}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt[4]{1-x}+\sqrt[4]{15+x}=2\\
Fazendo~\sqrt[4]{1-x}=a\rightarrow x = 1-a^4\\
a + \sqrt[4]{15+1-a^4}=2\rightarrow \\
a+\sqrt[4]{16-a^4}=2\rightarrow \\
(\sqrt[4]{16-a^4})^4=(2-a)^4 \rightarrow \\
16-a^4=16-32a+24a^2-8a^3+a^4\rightarrow \\
2a^4-8a^3+24a^2-32a=0\rightarrow 2a(a^3-4a^2+12a-16)=0\rightarrow \\
(Fatorando: 2a(a-2)(a^2-2a+8)\rightarrow a=0,ou ~a = 2~ ou~ \cancel{a= 1\pm \sqrt{7}i }(\text{como são simétricas a soma será nula)}\\
\therefore a=0\rightarrow substituindo~em ~(I)\\
1-0^4 = x\rightarrow \boxed{x=1}\\
1-2^4=x\rightarrow \boxed{x=-15}\\
\therefore 1-15 = \boxed{\color{red}-14}[/tex3]