E aí,
Lukinhas27.
Existem algumas ideias para esse tipo de problema. Mostrarei uma.
Usaremos que se [tex3]a + b + c = 0,[/tex3]
então [tex3]a^3 + b^3 + c^3 = 3abc.[/tex3]
Veja que podemos escrever a igualdade do enunciado do seguinte modo [tex3]\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x-1} - \sqrt[3]{5x} = 0[/tex3]
e, daí,
[tex3]\begin{align}3\sqrt[3]{ \( x+1\)\(x-1 \)(-5x) } & = \( \sqrt[3]{x+1} \)^3 + \( \sqrt[3]{x-1}\)^3 + \(- \sqrt[3]{5x}\)^3 \\& = x +1 + x -1 -5x \\ & = -3x.\end{align}[/tex3]
Elevando ao cubo a igualdade acima, vem
[tex3]\( x+1\)\(x-1 \)(-5x) = -x^3,[/tex3]
ou, ainda,
[tex3]-4x^3 +5x = 0,[/tex3]
donde [tex3]x = 0[/tex3]
ou [tex3]x = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}.[/tex3]