Ensino Fundamental ⇒ Equação Literal Tópico resolvido

[Angelita]

Resolver a equação em x [tex3]\frac{a+x}{1+a+ab} + \frac{b+x}{1+b+ab} = \frac{x-a}{1-a+ab} + \frac{x-b}{1-b+ab},[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a+x}{1+a+ab} + \frac{b+x}{1+b+ab} = \frac{x-a}{1-a+ab} + \frac{x-b}{1-b+ab},[/tex3]

responda com o inverso da solução diminuído de uma unidade.
a)[tex3]\frac{1}{ab}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{ab}[/tex3]

b)ab
c)[tex3]\frac{ab}{1+ab}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{ab}{1+ab}[/tex3]

d)[tex3]\frac{ab}{1-ab}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{ab}{1-ab}[/tex3]

e)[tex3]\frac{1}{1-ab}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{1-ab}[/tex3]

Resposta

---

a

[CarlosBruno]

A forma que irei resolver pode não ser a mais simples mas foi a que pensei. [tex3]\frac{a+x}{1+a+ab}+\frac{b+x}{1+b+ab}=\frac{x-a}{1-a+ab}+\frac{x-b}{1-b+ab}[/tex3]

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[tex3]\frac{a+x}{1+a+ab}+\frac{b+x}{1+b+ab}=\frac{x-a}{1-a+ab}+\frac{x-b}{1-b+ab}[/tex3]

para facilitar irei chamar [tex3]1+ab=l[/tex3]

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[tex3]1+ab=l[/tex3]

para que possamos manipular melhor a equação.

[tex3]\frac{a+x}{a+l}+\frac{b+x}{b+l}=\frac{x-a}{-(a-l)}+\frac{x-b}{-(b-l)}\Rightarrow \frac{a+x \cdot(a-l)}{a^2-l^2}+\frac{b+x\cdot(b-l)}{b^2-l^2}=\frac{x-a\cdot(a+l)}{-(a^2-l^2)}+\frac{x-b\cdot(b+l)}{-(b^2-l^2)}\\ \therefore \frac{1}{a^2-l^2}\cdot(a^2-al+ax-lx)+\frac{1}{b^2-l^2}\cdot(b^2-bl+xb-xl)+\frac{1}{a^2-l^2}\cdot(ax+xl-a^2+xl)+\frac{a}{b^2-l^2}\cdot(xb+lx-b^2-lb)=0\\ \therefore \frac{1}{a^2-l^2}\cdot(a^2-al+ax-lx+ax+xl-a^2+xl)+\frac{1}{b^2-l^2}\cdot(b^2-bl+xb-xl+xb+lx-b^2-lb)=0\\ \therefore \frac{1}{a^2-l^2}\cdot 2a(x-l)+\frac{1}{b^2-l^2}\cdot 2b(x-l)=0\Rightarrow (x-l)(\frac{2a}{a^2-l^2}+\frac{2b}{b^2-l^2})=0[/tex3]

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[tex3]\frac{a+x}{a+l}+\frac{b+x}{b+l}=\frac{x-a}{-(a-l)}+\frac{x-b}{-(b-l)}\Rightarrow \frac{a+x \cdot(a-l)}{a^2-l^2}+\frac{b+x\cdot(b-l)}{b^2-l^2}=\frac{x-a\cdot(a+l)}{-(a^2-l^2)}+\frac{x-b\cdot(b+l)}{-(b^2-l^2)}\\ \therefore \frac{1}{a^2-l^2}\cdot(a^2-al+ax-lx)+\frac{1}{b^2-l^2}\cdot(b^2-bl+xb-xl)+\frac{1}{a^2-l^2}\cdot(ax+xl-a^2+xl)+\frac{a}{b^2-l^2}\cdot(xb+lx-b^2-lb)=0\\ \therefore \frac{1}{a^2-l^2}\cdot(a^2-al+ax-lx+ax+xl-a^2+xl)+\frac{1}{b^2-l^2}\cdot(b^2-bl+xb-xl+xb+lx-b^2-lb)=0\\ \therefore \frac{1}{a^2-l^2}\cdot 2a(x-l)+\frac{1}{b^2-l^2}\cdot 2b(x-l)=0\Rightarrow (x-l)(\frac{2a}{a^2-l^2}+\frac{2b}{b^2-l^2})=0[/tex3]

Como queremos saber o valor da variável [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

só nos importa o produto [tex3]x-l[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x-l[/tex3]

sendo anulado [tex3]\therefore x-l=0\Rightarrow x=l=1+ab\therefore (x-1)^{-1}=\frac{1}{x-1}=\frac{1}{1+ab-1}=\frac{1}{ab}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\therefore x-l=0\Rightarrow x=l=1+ab\therefore (x-1)^{-1}=\frac{1}{x-1}=\frac{1}{1+ab-1}=\frac{1}{ab}[/tex3]