Ensino Fundamental ⇒ MDC Tópico resolvido

[botelho]

O MDC de A e B é [tex3]\frac{k+2}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{k+2}{2}[/tex3]

MDC de C e D é [tex3]\frac{2k-5}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2k-5}{3}[/tex3]

.Se o MDC de A,B,C e D igual a 9,calcule k se está compreendido entre 20 e 120.
a)52
b)58
c)70
d)82
e)94

Resposta

---

c

[Tassandro]

Temos então que
[tex3]k\text{ par}\\
\frac{k+2}{2}\text{ é divisível por 9}\\
\frac{2k-5}{3}\text{ é divisível por 9}\\
k+2\text{ é divisível por 2}\\
2k-5\text{ é divisível por 3}\\
20< k<120[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k\text{ par}\\
\frac{k+2}{2}\text{ é divisível por 9}\\
\frac{2k-5}{3}\text{ é divisível por 9}\\
k+2\text{ é divisível por 2}\\
2k-5\text{ é divisível por 3}\\
20< k<120[/tex3]

Testando, achamos que entre as alternativas, o único número que atende a todas essas condições ao mesmo tempo é 70.
Depois tentarei fazer uma solução discursiva...

[Tassandro]

botelho,
Fazendo [tex3]2k-5\equiv0\mod27[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2k-5\equiv0\mod27[/tex3]

temos que
[tex3]2k=27m+5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2k=27m+5[/tex3]

Mas
[tex3]20< k<120\implies 40<2k<240\implies 35<27m<235\implies 2\leq m\leq8[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]20< k<120\implies 40<2k<240\implies 35<27m<235\implies 2\leq m\leq8[/tex3]

Mas, como [tex3]27m+5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]27m+5[/tex3]

é par, m deve ser ímpar, logo, as possibilidades são:
[tex3]m=\{3,5,7\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m=\{3,5,7\}[/tex3]

Acho que daqui já dá para testar:
[tex3]m=3\implies 2k=27\cdot3+5=86\implies k=4\rightarrow\text{ Absurdo, pois k deve ser par!}\\
m=5\implies 2k=27\cdot5+5=140\implies k=70\\
m=7\implies 2k=27\cdot7+5=194\implies k=97\rightarrow \text{Absurdo!}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m=3\implies 2k=27\cdot3+5=86\implies k=4\rightarrow\text{ Absurdo, pois k deve ser par!}\\
m=5\implies 2k=27\cdot5+5=140\implies k=70\\
m=7\implies 2k=27\cdot7+5=194\implies k=97\rightarrow \text{Absurdo!}[/tex3]