Ensino Fundamental

Sendo x1 e x2 raízes da equação [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] ([tex3]\frac{x²+5x+1}{x²-x+1}[/tex3] )+[tex3]\frac{1}{3}[/tex3] ([tex3]\frac{5x²+x+5}{x²+x+1})=[/tex3] =2. Calcule [tex3]\frac{1}{x1} + \frac{1}{x2}[/tex3] .
a)[tex3]\frac{-1}{5}[/tex3]
b)15
c)5
d)-5
e)-1

Resposta

d

Resolução:
Dividindo as expressões em parêntese por x,temos:
[tex3]\frac{x +\frac{1}{x}+5}{x +\frac{1}{x}-1}[/tex3]
E
[tex3]\frac{5x +\frac{5}{x} +1}{x+\frac{1}{x}+1}[/tex3]
Agora,fazendo [tex3]x +\frac{1}{x}=y [/tex3] ,resulta:
[tex3]\frac{1}{2}(\frac{y+5}{y-1})+\frac{1}{3}(\frac{5y +1}{y+1})=2[/tex3]
[tex3]3(\frac{y+5}{y-1}) +2(\frac{5y+1}{y+1})=12[/tex3]
[tex3]3(y+5) (y+1)+2(5y+1)(y-1)=12(y+1)(y-1)[/tex3]
[tex3]3(y^2+6y+5) +2(5y^2-4y-1)=12(y^2-1)[/tex3]
[tex3]3y^2+18y+15+10y^2-8y-2=12y^2-12 [/tex3]
[tex3]13y^2+10y+13=12y^2-12[/tex3]
[tex3]y^{2}+10y+25=0[/tex3]
[tex3](y+5)^{2}=0\rightarrow y=-5[/tex3]
Voltando para x,obtemos:
[tex3]x+\frac{1}{x}=-5 [/tex3]
[tex3]x^{2}+5x+1=0[/tex3]
Pede-se:
[tex3]\frac{1}{x1}+\frac{1}{x2}=
\frac{x1+x2}{x1.x2}=\frac{-5}{1}=-5
[/tex3]

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