a)[tex3]\sqrt{2}[/tex3]
b)[tex3]\sqrt{3}[/tex3]
c)1
d)-1
e)-[tex3]\sqrt{3}[/tex3]
Resposta
a
Ensino Fundamental ⇒ Equação Segundo Grau Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Fev 2020
19
11:28
Equação Segundo Grau
De um valor para m para o qual a soma das quartas potências das raízes da equação x²-mx+1=0 seja minima.
a)[tex3]\sqrt{2}[/tex3]
b)[tex3]\sqrt{3}[/tex3]
c)1
d)-1
e)-[tex3]\sqrt{3}[/tex3]
a
a)[tex3]\sqrt{2}[/tex3]
b)[tex3]\sqrt{3}[/tex3]
c)1
d)-1
e)-[tex3]\sqrt{3}[/tex3]
a
-
Deleted User 23699
- Última visita: 31-12-69
Fev 2020
19
12:13
Re: Equação Segundo Grau
Olá
Como voce colocou em "Ensino fundamental", fico em dúvida se ja ouviu falar das SOMAS DE NEWTON.
Uma boa fonte é o livro 4 da coleçao Elementos da Matematica, do Rufino.
A ideia, basicamente, é ter fórmulas praticas para calcular a soma da potência de raizes de polinomios.
Partindo da ideia de somas de newton, temos que:
A1 = -m
A2 = 1
A3 = A4 = ... = 0
(Coeficientes do polinomio dado)
Sendo Sk a soma das raizes elevadas a potência k, por somas de newton encontramos
S1 = -m
S2 = m^2 - 2
S3 = m^3 - 3m
S4 = m^4 - 4 m^2 + 2
Queremos que S4 seja mínimo
Podemos encontrar "na raça" o valor ou simplesmente substituir os valores dados nas alternativas e ver qual vai dar num menor resultado
Eu optei por substituir
Encontramos que o valor minimo de S4 se dá para raiz de 2.
CONCEITO:
Soma de Newton:
S1 + A1 = 0
S2 + A1S1 + 2A2 = 0
S3 + A1S2 + A2S1 + 3A3 = 0
S4 + A1S3 + A2S2 + A3S1 + 4A4 = 0
É uma ferramenta poderosíssima muito conhecida em vestibulares ITA IME
Como voce colocou em "Ensino fundamental", fico em dúvida se ja ouviu falar das SOMAS DE NEWTON.
Uma boa fonte é o livro 4 da coleçao Elementos da Matematica, do Rufino.
A ideia, basicamente, é ter fórmulas praticas para calcular a soma da potência de raizes de polinomios.
Partindo da ideia de somas de newton, temos que:
A1 = -m
A2 = 1
A3 = A4 = ... = 0
(Coeficientes do polinomio dado)
Sendo Sk a soma das raizes elevadas a potência k, por somas de newton encontramos
S1 = -m
S2 = m^2 - 2
S3 = m^3 - 3m
S4 = m^4 - 4 m^2 + 2
Queremos que S4 seja mínimo
Podemos encontrar "na raça" o valor ou simplesmente substituir os valores dados nas alternativas e ver qual vai dar num menor resultado
Eu optei por substituir
Encontramos que o valor minimo de S4 se dá para raiz de 2.
CONCEITO:
Soma de Newton:
S1 + A1 = 0
S2 + A1S1 + 2A2 = 0
S3 + A1S2 + A2S1 + 3A3 = 0
S4 + A1S3 + A2S2 + A3S1 + 4A4 = 0
É uma ferramenta poderosíssima muito conhecida em vestibulares ITA IME
-
jomatlove 
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Fev 2020
20
12:25
Re: Equação Segundo Grau
Resolução
Sejam a e b as raízes da equação [tex3]x^2-mx+1=0[/tex3] .
Por Girard,temos:
[tex3]a+b=m[/tex3] (1)
[tex3]ab=1[/tex3] (2)
Daí,elevando (1) ao quadrado,temos:
[tex3](a+b)^2=m^2[/tex3]
[tex3]a^{2}+b^2+2ab=m^2[/tex3]
[tex3]a^{2}+b^2+2.1=m^2[/tex3]
[tex3]a^{2}+b^{2}=m^2-2[/tex3]
Novamente ao quadrado,Vem:
[tex3](a^2+b^2)^2=(m^2-2)^2[/tex3]
[tex3]a^{4}+b^4+2a^2b^2=m^4-4m^2+4[/tex3]
[tex3]a^4+b^4+2=m^4-4m^2+4[/tex3]
[tex3]a^{4}+b^4=m^4-4m^2+4-2[/tex3]
[tex3]a^{4}+b^4=(m^2-2)^2-2[/tex3]
Logo,[tex3]a^{4}+b^4[/tex3] é mínimo,quando [tex3]m^2-2[/tex3] for mínimo;e isso ocorre para:
[tex3]m^2-2=0\rightarrow \boxed{m=\sqrt{2}}[/tex3]
Sejam a e b as raízes da equação [tex3]x^2-mx+1=0[/tex3] .
Por Girard,temos:
[tex3]a+b=m[/tex3] (1)
[tex3]ab=1[/tex3] (2)
Daí,elevando (1) ao quadrado,temos:
[tex3](a+b)^2=m^2[/tex3]
[tex3]a^{2}+b^2+2ab=m^2[/tex3]
[tex3]a^{2}+b^2+2.1=m^2[/tex3]
[tex3]a^{2}+b^{2}=m^2-2[/tex3]
Novamente ao quadrado,Vem:
[tex3](a^2+b^2)^2=(m^2-2)^2[/tex3]
[tex3]a^{4}+b^4+2a^2b^2=m^4-4m^2+4[/tex3]
[tex3]a^4+b^4+2=m^4-4m^2+4[/tex3]
[tex3]a^{4}+b^4=m^4-4m^2+4-2[/tex3]
[tex3]a^{4}+b^4=(m^2-2)^2-2[/tex3]
Logo,[tex3]a^{4}+b^4[/tex3] é mínimo,quando [tex3]m^2-2[/tex3] for mínimo;e isso ocorre para:
[tex3]m^2-2=0\rightarrow \boxed{m=\sqrt{2}}[/tex3]
Imagination is more important than
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