Ensino Fundamental ⇒ Matemática Básica Tópico resolvido

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Matemática Básica

Mensagem não lidapor Professor » Sex 24 Jan, 2020 09:26

Mensagem não lida por Professor »

João recebeu de troco R$ 30,00, sendo que 1/4 deste valor foi em moedas de: R$ 1,00, 0,25 e R$ 0,10, em um total de 15 moedas. Assinale a alternativa correta:

a) Ele recebeu mais moedas de R$ 1,00
b) Ele recebeu mais moedas de R$ 0,25
c) Ele recebeu mais moedas de R$ 0,10
d) Ele recebeu a mesma quantidade de moedas de cada valor.
Resposta
a


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goncalves3718
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Re: Matemática Básica

Mensagem não lidapor goncalves3718 » Sex 24 Jan, 2020 09:42

Mensagem não lida por goncalves3718 »

Calculando [tex3]\frac{1}{4} [/tex3] de [tex3]R$30,00[/tex3] :

[tex3]\frac{1}{4}\cdot \frac{30}{1}=\frac{30}{4}=R$7,50[/tex3]

Dessa forma é fácil perceber que com 13 moedas de 0,10 , 1 de 0,25 e 1 de 1 real não 'baterá com o valor". Da mesma forma para 13 moedas de 0,25 , 1 de 0,10 e 1 de 1,00. Então ele recebeu no máximo 7 moedas de 1 real , mas não será possível fazer com que 8 moedas( 0,50 ou 0,25) tenham o valor de 0,50. Então ele levou 6 moedas de 1 real , 4 moedas de 0,25 e 5 de 0,10


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caju
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Jan 2020 27 10:11

Re: Matemática Básica

Mensagem não lidapor caju » Seg 27 Jan, 2020 10:11

Mensagem não lida por caju »

Olá Professor ,

Vou mostrar uma maneira mais algébrica de se resolver.

Já sabemos, conforme a resolução do colega goncalves3718, que o valor dado em um total de 15 moedas foi de R$7,50.

Vamos definir as incógnitas:

[tex3]x[/tex3] = qtd de moedas de R$ 1,00
[tex3]y[/tex3] = qtd de moedas de R$ 0,25
[tex3]z[/tex3] = qtd de moedas de R$ 0,10

Temos um total de 15 moedas. Assim, conseguimos nossa primeira equação:

[tex3]x+y+z=15\hspace{15pt}\color{red}\text{(I)}[/tex3]

E, o valor total dessas moedas é R$7,50. Assim, podemos escrever:

[tex3]x+0,25y+0,1z=7,5\hspace{15pt}\color{red}\text{(II)}[/tex3]

Agora temos nosso sistema:

[tex3]\begin{cases}
x+y+z=15 & \color{red}\text{(I)} \\
x+0,25y+0,1z=7,5 & \color{red}\text{(II)}
\end{cases}[/tex3]

O problema nesse ponto da resolução é que temos 2 equações para 3 incógnitas. Ou seja, está faltando uma equação para que pudéssemos resolver o sistema de forma normal.

Mas, o problema quer que o candidato utilize mais ferramentas matemáticas para chegar à solução. Assim, temos que fazer uma análise mais profunda.

Vamos isolar [tex3]x[/tex3] na equação (I):

[tex3]x=15-y-z\hspace{15pt}\color{red}\text{(III)}[/tex3]

Agora vamos substituir (III) em (II):
[tex3]15-y-z+0,25y+0,1z=7,5\,\,\,\to[/tex3]

[tex3]0,75y = 7,5- 0,9z\,\,\,\to[/tex3]

[tex3]y = \frac{7,5- 0,9z}{0,75}\,\,\,\to[/tex3]

[tex3]y=10-1,2z\,\,\,\to[/tex3]

[tex3]\boxed{y=10-\frac{6z}{5}}\hspace{15pt}\color{red}\text{(IV)}[/tex3]
Substituindo (IV) em (III):
[tex3]x=15-\(10-\frac{6z}{5}\)-z\,\,\,\to[/tex3]

[tex3]x=5+\frac{6z}{5}-z\,\,\,\to[/tex3]

[tex3]\boxed{x=5+\frac{z}{5}}\hspace{15pt}\color{red}\text{(V)}[/tex3]
Agrupando as equações (IV) e (V) para uma melhor visualização:

[tex3]\begin{cases}
y=10-\frac{6z}{5} & \color{red}\text{(IV)} \\
x=5+\frac{z}{5} & \color{red}\text{(V)}
\end{cases}[/tex3]

Com esse novo sistema rearranjado, podemos tirar algumas conclusões numéricas sobre os valore [tex3]x[/tex3] , [tex3]y[/tex3] e [tex3]z[/tex3] .

Sabemos, por conta do enunciado, que esses três valores DEVEM ser números inteiros e positivos, pois não podemos ter números quebrados como sendo uma quantidade de moedas. Assim, para que as equações (IV) e (V) resultem números inteiros para [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] , temos que ter um valor de [tex3]z[/tex3] que seja divisível por 5. Caso contrário as quantidades [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] não resultariam em números inteiros.

Vamos, então, jogar valores possíveis para [tex3]z[/tex3] (valores positivos e divisíveis por 5) e encontrar [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] :
[tex3]\boxed{z=5}[/tex3]

[tex3]x=5+\frac{5}{5}\,\,\,\to\,\,\,\boxed{x=6}[/tex3]

[tex3]y=10-\frac{6\cdot 5}{5}\,\,\,\to\,\,\,\boxed{y=4}[/tex3]
[tex3]\boxed{z=10}[/tex3]

[tex3]x=5+\frac{10}{5}\,\,\,\to\,\,\,\boxed{x=7}[/tex3]

[tex3]y=10-\frac{6\cdot 10}{5}\,\,\,\to\,\,\,\boxed{y=-2}[/tex3]

Aqui já começamos a ter um absurdo. O valor de [tex3]y[/tex3] não pode ser negativo! Ou seja, não podemos continuar aumentando o valor de [tex3]z[/tex3] , pois em [tex3]z=10[/tex3] já chegamos em [tex3]y[/tex3] negativo. Assim, concluímos que o valor de [tex3]z[/tex3] DEVE ser [tex3]z=5[/tex3] e, por consequência, temos [tex3]\boxed{x=6}[/tex3] e [tex3]\boxed{y=4}[/tex3] .

Ou seja, temos:

6 moedas de R$1,00
4 moedas de R$0,25
5 moedas de R$0,10

Que bate com o gabarito.

Grande abraço,
Prof. Caju


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Re: Matemática Básica

Mensagem não lidapor Professor » Seg 27 Jan, 2020 10:29

Mensagem não lida por Professor »

Resolução fantástica, muito obrigado.


caju escreveu: ↑
Seg 27 Jan, 2020 10:11
 Olá Professor ,

Vou mostrar uma maneira mais algébrica de se resolver.

Já sabemos, conforme a resolução do colega goncalves3718, que o valor dado em um total de 15 moedas foi de R$7,50.

Vamos definir as incógnitas:

[tex3]x[/tex3] = qtd de moedas de R$ 1,00
[tex3]y[/tex3] = qtd de moedas de R$ 0,25
[tex3]z[/tex3] = qtd de moedas de R$ 0,10

Temos um total de 15 moedas. Assim, conseguimos nossa primeira equação:

[tex3]x+y+z=15\hspace{15pt}\color{red}\text{(I)}[/tex3]

E, o valor total dessas moedas é R$7,50. Assim, podemos escrever:

[tex3]x+0,25y+0,1z=7,5\hspace{15pt}\color{red}\text{(II)}[/tex3]

Agora temos nosso sistema:

[tex3]\begin{cases}
x+y+z=15 & \color{red}\text{(I)} \\
x+0,25y+0,1z=7,5 & \color{red}\text{(II)}
\end{cases}[/tex3]

O problema nesse ponto da resolução é que temos 2 equações para 3 incógnitas. Ou seja, está faltando uma equação para que pudéssemos resolver o sistema de forma normal.

Mas, o problema quer que o candidato utilize mais ferramentas matemáticas para chegar à solução. Assim, temos que fazer uma análise mais profunda.

Vamos isolar [tex3]x[/tex3] na equação (I):

[tex3]x=15-y-z\hspace{15pt}\color{red}\text{(III)}[/tex3]

Agora vamos substituir (III) em (II):
[tex3]15-y-z+0,25y+0,1z=7,5\,\,\,\to[/tex3]

[tex3]0,75y = 7,5- 0,9z\,\,\,\to[/tex3]

[tex3]y = \frac{7,5- 0,9z}{0,75}\,\,\,\to[/tex3]

[tex3]y=10-1,2z\,\,\,\to[/tex3]

[tex3]\boxed{y=10-\frac{6z}{5}}\hspace{15pt}\color{red}\text{(IV)}[/tex3]
Substituindo (IV) em (III):
[tex3]x=15-\(10-\frac{6z}{5}\)-z\,\,\,\to[/tex3]

[tex3]x=5+\frac{6z}{5}-z\,\,\,\to[/tex3]

[tex3]\boxed{x=5+\frac{z}{5}}\hspace{15pt}\color{red}\text{(V)}[/tex3]
Agrupando as equações (IV) e (V) para uma melhor visualização:

[tex3]\begin{cases}
y=10-\frac{6z}{5} & \color{red}\text{(IV)} \\
x=5+\frac{z}{5} & \color{red}\text{(V)}
\end{cases}[/tex3]

Com esse novo sistema rearranjado, podemos tirar algumas conclusões numéricas sobre os valore [tex3]x[/tex3] , [tex3]y[/tex3] e [tex3]z[/tex3] .

Sabemos, por conta do enunciado, que esses três valores DEVEM ser números inteiros e positivos, pois não podemos ter números quebrados como sendo uma quantidade de moedas. Assim, para que as equações (IV) e (V) resultem números inteiros para [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] , temos que ter um valor de [tex3]z[/tex3] que seja divisível por 5. Caso contrário as quantidades [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] não resultariam em números inteiros.

Vamos, então, jogar valores possíveis para [tex3]z[/tex3] (valores positivos e divisíveis por 5) e encontrar [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] :
[tex3]\boxed{z=5}[/tex3]

[tex3]x=5+\frac{5}{5}\,\,\,\to\,\,\,\boxed{x=6}[/tex3]

[tex3]y=10-\frac{6\cdot 5}{5}\,\,\,\to\,\,\,\boxed{y=4}[/tex3]
[tex3]\boxed{z=10}[/tex3]

[tex3]x=5+\frac{10}{5}\,\,\,\to\,\,\,\boxed{x=7}[/tex3]

[tex3]y=10-\frac{6\cdot 10}{5}\,\,\,\to\,\,\,\boxed{y=-2}[/tex3]

Aqui já começamos a ter um absurdo. O valor de [tex3]y[/tex3] não pode ser negativo! Ou seja, não podemos continuar aumentando o valor de [tex3]z[/tex3] , pois em [tex3]z=10[/tex3] já chegamos em [tex3]y[/tex3] negativo. Assim, concluímos que o valor de [tex3]z[/tex3] DEVE ser [tex3]z=5[/tex3] e, por consequência, temos [tex3]\boxed{x=6}[/tex3] e [tex3]\boxed{y=4}[/tex3] .

Ou seja, temos:

6 moedas de R$1,00
4 moedas de R$0,25
5 moedas de R$0,10

Que bate com o gabarito.

Grande abraço,
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