Veja que pelos dados do problema, tem-se um sistema de 2 equações e 3 incógnitas. Ou seja, ele possui mas de uma solução para x,y e z individualmente.
Perceba que nas duas equações dadas, pode-se escrever funções simétricas que as representam.
Dividindo a segunda eq por xyz (supondo x,y e z diferentes de 0), tem-se:
[tex3]\begin{cases}
x+y+z=1 \\
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1
\end{cases}[/tex3]
Seja, por exemplo,[tex3]f(x,y,z)=x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1[/tex3]
Daí, conseguimos observar que [tex3]f(x,y,z) = f(x,z,y)\quad\forall x,y,z\in \mathbb{R}[/tex3]
Vamos arbitrar, então, valores convenientes para [tex3]y[/tex3]
e [tex3]z[/tex3]
.
Seja [tex3]y=z=k,\quad k\in\mathbb{R}[/tex3]
Substituindo na expressão original, tem-se:
[tex3]x+2k=1[/tex3]
[tex3]\frac{1}{x}+\frac{2}{k}=1[/tex3]
Substituindo x da primeira equação na segunda, tem-se:
[tex3]\frac{1}{1-2k}+\frac{2}{k}=1[/tex3]
[tex3]2-3k=k-2k^2[/tex3]
[tex3]2k^2-4k+2=0[/tex3]
[tex3]k^2-2k+1=(k-1)^2=0[/tex3]
Logo,
[tex3]k=1[/tex3]
Com isso, [tex3]y=z=1[/tex3]
Substituindo k=1 na primeira equação do sistema, tem-se:
[tex3]x+2=1\Rightarrow x=-1[/tex3]
Portanto,
[tex3]x=-1[/tex3]
[tex3]y=1[/tex3]
[tex3]z=1[/tex3]
Substituindo na expressão pedida
[tex3]\(x^{9}+y^{9}+z^{9}\)\[\frac{1}{x^{11}+y^{11}+z^{11}+1}\][/tex3]
[tex3]\((-1)^{9}+1^{9}+1^{9}\)\[\frac{1}{(-1)^{11}+1^{11}+1^{11}+1}\][/tex3]
[tex3]\(1\)\[\frac{1}{2}\][/tex3]
[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
Letra C
Obs: veja que essa é apenas uma das soluções mas esse é um jeito mais mecânico de achar as soluções. Perceba que existem soluções também para os seguintes trios por outras soluções:
(x,y,z)=(1,-1,1)
(x,y,z)=(1,1,-1)
(x,y,z)=(1,0,0)
(x,y,z)=(0,1,0)
.
.
.
Existem varias
Eu fiz uma questão parecida faz um tempo aqui no fórum com a mesma técnica
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