Ensino FundamentalÁlgebra Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Fundamental devem ser postados aqui (exceto problemas de Vestibulares).

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botelho
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Álgebra

Mensagem não lida por botelho »

Se [tex3]x+y+z=1[/tex3] e [tex3]xy+yz+xz=xyz[/tex3] . Calcule [tex3]\(x^{9}+y^{9}+z^{9}\)\[\frac{1}{x^{11}+y^{11}+z^{11}+1}\][/tex3] .

a) [tex3]1[/tex3]
b) [tex3]2[/tex3]
c) [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
d) [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]
e) [tex3]3[/tex3]
Resposta

c
Feliz Natal...

Última edição: caju (Qua 25 Dez, 2019 22:25). Total de 1 vez.
Razão: arrumar tex.



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erihh3
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Re: Álgebra

Mensagem não lida por erihh3 »

Veja que pelos dados do problema, tem-se um sistema de 2 equações e 3 incógnitas. Ou seja, ele possui mas de uma solução para x,y e z individualmente.

Perceba que nas duas equações dadas, pode-se escrever funções simétricas que as representam.

Dividindo a segunda eq por xyz (supondo x,y e z diferentes de 0), tem-se:

[tex3]\begin{cases}
x+y+z=1 \\
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1
\end{cases}[/tex3]

Seja, por exemplo,[tex3]f(x,y,z)=x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1[/tex3]

Daí, conseguimos observar que [tex3]f(x,y,z) = f(x,z,y)\quad\forall x,y,z\in \mathbb{R}[/tex3]

Vamos arbitrar, então, valores convenientes para [tex3]y[/tex3] e [tex3]z[/tex3] .

Seja [tex3]y=z=k,\quad k\in\mathbb{R}[/tex3]

Substituindo na expressão original, tem-se:

[tex3]x+2k=1[/tex3]
[tex3]\frac{1}{x}+\frac{2}{k}=1[/tex3]

Substituindo x da primeira equação na segunda, tem-se:

[tex3]\frac{1}{1-2k}+\frac{2}{k}=1[/tex3]
[tex3]2-3k=k-2k^2[/tex3]
[tex3]2k^2-4k+2=0[/tex3]
[tex3]k^2-2k+1=(k-1)^2=0[/tex3]

Logo,

[tex3]k=1[/tex3]

Com isso, [tex3]y=z=1[/tex3]

Substituindo k=1 na primeira equação do sistema, tem-se:

[tex3]x+2=1\Rightarrow x=-1[/tex3]

Portanto,

[tex3]x=-1[/tex3]
[tex3]y=1[/tex3]
[tex3]z=1[/tex3]

Substituindo na expressão pedida

[tex3]\(x^{9}+y^{9}+z^{9}\)\[\frac{1}{x^{11}+y^{11}+z^{11}+1}\][/tex3]


[tex3]\((-1)^{9}+1^{9}+1^{9}\)\[\frac{1}{(-1)^{11}+1^{11}+1^{11}+1}\][/tex3]

[tex3]\(1\)\[\frac{1}{2}\][/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]


Letra C



Obs: veja que essa é apenas uma das soluções mas esse é um jeito mais mecânico de achar as soluções. Perceba que existem soluções também para os seguintes trios por outras soluções:
(x,y,z)=(1,-1,1)
(x,y,z)=(1,1,-1)
(x,y,z)=(1,0,0)
(x,y,z)=(0,1,0)
.
.
.
Existem varias

Eu fiz uma questão parecida faz um tempo aqui no fórum com a mesma técnica Link de questão semelhante

Última edição: erihh3 (Qua 15 Jan, 2020 16:06). Total de 1 vez.
Razão: formatação


Ciclo Básico - IME

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Babi123
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Re: Álgebra

Mensagem não lida por Babi123 »

Genial :shock: . :D



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snooplammer
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Re: Álgebra

Mensagem não lida por snooplammer »

Uma outra ideia é usar Somas de Newton ou então Gauss-Lucas



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Babi123
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Re: Álgebra

Mensagem não lida por Babi123 »

snooplammer escreveu:
Qua 15 Jan, 2020 16:40
Uma outra ideia é usar Somas de Newton ou então Gauss-Lucas

Somas de Newton até tentei, mas acabei não tendo êxito.
Gauss-Lucas sinceramente é a primeira vez que estou "ouvindo" falar.



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snooplammer
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Re: Álgebra

Mensagem não lida por snooplammer »

Babi123 escreveu:
Qua 15 Jan, 2020 17:27
Gauss-Lucas sinceramente é a primeira vez que estou "ouvindo" falar.
Teorema de Gauss-Lucas é o que chamam de Teorema de Girard aqui no Brasil. Mas, acredito que o teorema não foi demonstrado por Girard.
Última edição: snooplammer (Qua 15 Jan, 2020 18:08). Total de 1 vez.



mcarvalho
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Re: Álgebra

Mensagem não lida por mcarvalho »

Segue a resolução por Girard, particularmente me parece mais simples:

x,y e z são as raízes do polinômio [tex3]P(n) = an^3+bn^2+cn+d[/tex3] . As relações de Girard nos garantem que:

[tex3]x+y+z=1=\frac{-b}{a}\rightarrow a=-b\\xy+yz+xz=xyz\rightarrow\frac{c}{a}=-\frac{d}{a}\rightarrow c=-d[/tex3]

Portanto, [tex3]P(n)=an^3-an^2+cn-c=an^2(n-1)+c(n-1)=(n-1)(an^2+c)[/tex3] . Ora, então [tex3]n-1=0\rightarrow n=1[/tex3] e [tex3]an^2+c=0\rightarrow n=\pm\sqrt{\frac{-c}{a}}[/tex3] são as raízes x, y e z.

Voltando à expressão original, e fazendo [tex3]x=1,y=+\sqrt{\frac{-c}{a}},z=-\sqrt{\frac{-c}{a}}[/tex3] , teremos:

[tex3]x^9+y^9+z^9=1+\(-\sqrt{\frac{-c}{a}}\)^9+\(\sqrt{\frac{-c}{a}}\)^9=1[/tex3] , e é fácil perceber que [tex3]x^{11}+y^{11}+z^{11}[/tex3] resulta no mesmo.

Assim, de fato [tex3]\(x^{9}+y^{9}+z^{9}\)\[\frac{1}{x^{11}+y^{11}+z^{11}+1}\]=\frac{1}{2}[/tex3]

Última edição: mcarvalho (Qua 29 Jan, 2020 12:39). Total de 1 vez.


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