Represente em um plano cartesiano todas as soluções da equação [tex3]2x - 3y = 6[/tex3]
Por favor, me ajudem, estou precisando bastante.
Ensino Fundamental ⇒ Plano Cartesiano Tópico resolvido
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caju
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10:58
Re: Plano Cartesiano
Olá mxtheus,
Quando o enunciado pede "todas as soluções", está pedindo todos os pares ordenados [tex3](x,y)[/tex3] que você substitui na equação, e o cálculo resulta uma verdade.
Por exemplo. Será que o par ordenado [tex3](2,1)[/tex3] é uma solução? Vamos substituir [tex3]x=2[/tex3] e [tex3]y=1[/tex3] para descobrir:
[tex3]2\cdot 2-3\cdot 1 = 6[/tex3]
[tex3]4-3 = 6[/tex3]
[tex3]1 = 6[/tex3]
Veja que nós chegamos em um absurdo!!! Nunca que [tex3]1[/tex3] é igual a [tex3]6[/tex3] . Ou seja, [tex3](2,1)[/tex3] não é solução da equação dada.
Vou mostrar um segundo, e último, exemplo. Vamos testar se o par ordenado (6,2) é solução da equação substituindo [tex3]x=6[/tex3] e [tex3]y=2[/tex3] :
[tex3]2\cdot 6-3\cdot 2 = 6[/tex3]
[tex3]12-6 = 6[/tex3]
[tex3]6 = 6[/tex3]
Nesse teste chegamos em uma verdade, pois 6 realmente é igual a 6. Assim, o par ordenado (6,2) é uma solução da equação.
Bom, mas essa técnica de ir testando não é muito boa, pois são infinitas soluções. O que podemos fazer, é isolar o valor de [tex3]y[/tex3] na equação:
[tex3]2x - 3y = 6\,\,\to \,\,\boxed{y=\frac{2x-6}{3}}[/tex3]
Isso significa que, para ser solução, um par ordenado tem que ter o [tex3]y[/tex3] igual a [tex3]\frac{2x-6}{3}[/tex3] . Se isso ocorrer, o par ordenado é solução da equação!!!
Você consegue plotar os pontos que satisfazem [tex3]y=\frac{2x-6}{3}[/tex3] , no plano cartesiano? É a equação de uma reta!
Essa reta tem coeficiente angular [tex3]\boxed{a=\frac{2}{3}}[/tex3] , ou seja, é uma reta crescente ([tex3]a>0[/tex3] ). E possui coeficiente linear [tex3]b=\frac{-6}{3}\,\,\to\,\,\boxed{b=-2}[/tex3] , ou seja, corta o eixo [tex3]y[/tex3] no valor [tex3]-2[/tex3] .
Pra desenharmos essa reta, já sabemos o ponto de corte no eixo [tex3]y[/tex3] . Vamos, então, calcular qual o ponto de corte no eixo [tex3]x[/tex3] .
Para cortar o eixo x, o ponto de corte terá coordenada [tex3]y=0[/tex3] . Substituindo [tex3]y=0[/tex3] na equação, encontraremos o valor da coordenada x desse ponto de corte do eixo [tex3]x[/tex3] :
[tex3]2x - 3y = 6[/tex3]
[tex3]2x - 3\cdot 0 = 6[/tex3]
[tex3]2x= 6\,\,\to\,\,x=3[/tex3]
Assim, a reta corta o eixo [tex3]x[/tex3] no ponto [tex3](3,0)[/tex3] . Vamos desenhar a reta:
Grande abraço,
Prof. Caju
Quando o enunciado pede "todas as soluções", está pedindo todos os pares ordenados [tex3](x,y)[/tex3] que você substitui na equação, e o cálculo resulta uma verdade.
Por exemplo. Será que o par ordenado [tex3](2,1)[/tex3] é uma solução? Vamos substituir [tex3]x=2[/tex3] e [tex3]y=1[/tex3] para descobrir:
[tex3]2\cdot 2-3\cdot 1 = 6[/tex3]
[tex3]4-3 = 6[/tex3]
[tex3]1 = 6[/tex3]
Veja que nós chegamos em um absurdo!!! Nunca que [tex3]1[/tex3] é igual a [tex3]6[/tex3] . Ou seja, [tex3](2,1)[/tex3] não é solução da equação dada.
Vou mostrar um segundo, e último, exemplo. Vamos testar se o par ordenado (6,2) é solução da equação substituindo [tex3]x=6[/tex3] e [tex3]y=2[/tex3] :
[tex3]2\cdot 6-3\cdot 2 = 6[/tex3]
[tex3]12-6 = 6[/tex3]
[tex3]6 = 6[/tex3]
Nesse teste chegamos em uma verdade, pois 6 realmente é igual a 6. Assim, o par ordenado (6,2) é uma solução da equação.
Bom, mas essa técnica de ir testando não é muito boa, pois são infinitas soluções. O que podemos fazer, é isolar o valor de [tex3]y[/tex3] na equação:
[tex3]2x - 3y = 6\,\,\to \,\,\boxed{y=\frac{2x-6}{3}}[/tex3]
Isso significa que, para ser solução, um par ordenado tem que ter o [tex3]y[/tex3] igual a [tex3]\frac{2x-6}{3}[/tex3] . Se isso ocorrer, o par ordenado é solução da equação!!!
Você consegue plotar os pontos que satisfazem [tex3]y=\frac{2x-6}{3}[/tex3] , no plano cartesiano? É a equação de uma reta!
Essa reta tem coeficiente angular [tex3]\boxed{a=\frac{2}{3}}[/tex3] , ou seja, é uma reta crescente ([tex3]a>0[/tex3] ). E possui coeficiente linear [tex3]b=\frac{-6}{3}\,\,\to\,\,\boxed{b=-2}[/tex3] , ou seja, corta o eixo [tex3]y[/tex3] no valor [tex3]-2[/tex3] .
Pra desenharmos essa reta, já sabemos o ponto de corte no eixo [tex3]y[/tex3] . Vamos, então, calcular qual o ponto de corte no eixo [tex3]x[/tex3] .
Para cortar o eixo x, o ponto de corte terá coordenada [tex3]y=0[/tex3] . Substituindo [tex3]y=0[/tex3] na equação, encontraremos o valor da coordenada x desse ponto de corte do eixo [tex3]x[/tex3] :
[tex3]2x - 3y = 6[/tex3]
[tex3]2x - 3\cdot 0 = 6[/tex3]
[tex3]2x= 6\,\,\to\,\,x=3[/tex3]
Assim, a reta corta o eixo [tex3]x[/tex3] no ponto [tex3](3,0)[/tex3] . Vamos desenhar a reta:
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Prof. Caju
"A beleza de ser um eterno aprendiz..."
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