Os termos [tex3]a[/tex3]
e [tex3]b[/tex3]
são as bases de um trapézio que aparece quando se traça [tex3]\overline{CD}[/tex3]
. Vejo essa solução em alguns lugares e ela sempre parece ser tirada da cartola para quem não tem muita afinidade com geometria, vou deixar aqui uma mais simples utilizando semelhança:
Temos dois pares de triângulos retângulos semelhantes na figura que podemos usar, com hipotenusa sobre [tex3]\overline{BC}[/tex3]
temos [tex3]\triangle BFE \sim\triangle BAC[/tex3]
e com hipotenusa sobre [tex3]\overline{AD}[/tex3]
temos [tex3]\triangle AFE\sim\triangle ABD[/tex3]
. Vamos denominar [tex3]\overline{BF}=l[/tex3]
e [tex3]\overline{BA}=L[/tex3]
para montar as semelhanças:
[tex3]\triangle BFE \sim\triangle BAC \rightarrow\frac{x}{4}=\frac{l}{L}[/tex3]
(I)
[tex3]\triangle AFE\sim\triangle ABD\rightarrow\frac{x}{6}=\frac{L-l}{L}=1-\frac{l}{L}[/tex3]
(II)
Substituindo o resultado de
(I) em
(II) encontramos:
[tex3]\frac{x}{6}=1-\frac{x}{4}[/tex3]
[tex3]4x=24-6x[/tex3]
[tex3]\boxed{x=\frac{12}{5}=2,4}[/tex3]
A solução que você encontrou, acredito que venha do fato de que o segmento paralelo às bases de um trapézio que passa pelo ponto de interseção das diagonais é a média harmônica das bases, ou seja, [tex3]\frac{2ab}{a+b}[/tex3]
, sendo que o ponto de interseção das diagonais é o ponto médio dessa base harmônica, por isso [tex3]x[/tex3]
fica [tex3]\frac{\cancel{2}ab}{a+b}[/tex3]
, que é a metade. Isso não é muito conhecido a nível ENEM, que é a origem dessa questão, então não vejo porque resolver o problema desse modo.
Basta traçar o lado que falta do trapézio retângulo [tex3]ABDC[/tex3]
e você vai enxergar:
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