Ensino FundamentalSemelhança de triângulos resolvido por soma e produto Tópico resolvido

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legislacao
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Semelhança de triângulos resolvido por soma e produto

Mensagem não lida por legislacao »

O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.


Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?
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Eu achei uma resolução mais simples para essa questão, porém não entendi muito bem ela. Foi feito por soma e produto: [tex3]\frac{a.b}{a+b} = \frac{4.6}{4+6} = \frac{24}{10}[/tex3] = 2,4

Eu não entendi muito bem o critério usado para escolher os termos 'a' e 'b' dessa fórmula. Como funciona esse metodo? Sempre posso usar em questões de semelhança de triângulos?




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lookez
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Re: Semelhança de triângulos resolvido por soma e produto

Mensagem não lida por lookez »

Os termos [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] são as bases de um trapézio que aparece quando se traça [tex3]\overline{CD}[/tex3] . Vejo essa solução em alguns lugares e ela sempre parece ser tirada da cartola para quem não tem muita afinidade com geometria, vou deixar aqui uma mais simples utilizando semelhança:

Temos dois pares de triângulos retângulos semelhantes na figura que podemos usar, com hipotenusa sobre [tex3]\overline{BC}[/tex3] temos [tex3]\triangle BFE \sim\triangle BAC[/tex3] e com hipotenusa sobre [tex3]\overline{AD}[/tex3] temos [tex3]\triangle AFE\sim\triangle ABD[/tex3] . Vamos denominar [tex3]\overline{BF}=l[/tex3] e [tex3]\overline{BA}=L[/tex3] para montar as semelhanças:

[tex3]\triangle BFE \sim\triangle BAC \rightarrow\frac{x}{4}=\frac{l}{L}[/tex3] (I)
[tex3]\triangle AFE\sim\triangle ABD\rightarrow\frac{x}{6}=\frac{L-l}{L}=1-\frac{l}{L}[/tex3] (II)

Substituindo o resultado de (I) em (II) encontramos:
[tex3]\frac{x}{6}=1-\frac{x}{4}[/tex3]
[tex3]4x=24-6x[/tex3]
[tex3]\boxed{x=\frac{12}{5}=2,4}[/tex3]

A solução que você encontrou, acredito que venha do fato de que o segmento paralelo às bases de um trapézio que passa pelo ponto de interseção das diagonais é a média harmônica das bases, ou seja, [tex3]\frac{2ab}{a+b}[/tex3] , sendo que o ponto de interseção das diagonais é o ponto médio dessa base harmônica, por isso [tex3]x[/tex3] fica [tex3]\frac{\cancel{2}ab}{a+b}[/tex3] , que é a metade. Isso não é muito conhecido a nível ENEM, que é a origem dessa questão, então não vejo porque resolver o problema desse modo.

Basta traçar o lado que falta do trapézio retângulo [tex3]ABDC[/tex3] e você vai enxergar:
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Última edição: lookez (Dom 29 Set, 2019 11:29). Total de 4 vezes.



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legislacao
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Re: Semelhança de triângulos resolvido por soma e produto

Mensagem não lida por legislacao »

lookez, agradeço demais a sua explicação, excelente. Muito obrigado!!



Movido de Pré-Vestibular para Ensino Fundamental em Qui 03 Out, 2019 09:22 por ALDRIN

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gustavoc
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Re: Semelhança de triângulos resolvido por soma e produto

Mensagem não lida por gustavoc »

valeu mano muito boa a resolução




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